lim x -4 raiz[x+4](x+5)^2

Passo 1

O enunciado pede o valor de
limxto -4 raiz[x+4](x+5)^2
Isso envolve uma forma indeterminada do tipo 1^infty, pois quando xto -4 temos (x+5)^2to1 e o índice da raiz x+4to0. Para resolver, vamos usar a transformação logarítmica: escrever o radical como potência e aplicar exp ao limite do logaritmo.

Passo 2

Reescrevemos o radical em termos de potência:
raiz[x+4](x+5)^2 = l((x+5)^2r)^1x+4 = (x+5)^2,x+4,
Então, se chamarmos a expressão de L, temos
L = (x+5)^2x+4

Passo 3

Aplicamos o logaritmo natural para tratar a indeterminação:
ln L = 2x+4,ln(x+5)
Agora analisamos o limite de ln L quando xto -4. É uma forma 0/0, pois ln(x+5)toln1=0 e x+4to0. Para avaliar, fazemos a substituição t = x+4, de modo que tto0 e x+5 = 1+t.

Passo 4

Com t=x+4 temos
ln L = 2t,ln(1+t)
Para t muito pequeno, usamos a expansão ln(1+t)approx t. Logo
ln L approx 2t,t = 2
quando tto0. Portanto
limxto -4ln L = 2

Passo 5

Voltando de ln L para L, temos
limxto -4L = expl(limxto -4ln Lr) = exp(2) = e^2

Resposta

e^2

Exercícios relacionados