Identifique o subconjunto do plano e faça o seu gráfico. Se for uma hipérbole, então determine o centro, os vértices, os focos, os eixos de simetria e as suas assíntotas:
Passo 1
O enunciado dá a curva do plano definida pela equação
e pede para:
- identificar o subconjunto do plano (que tipo de cônica é);
- fazer o gráfico (descrever como desenhar);
- se for hipérbole: determinar o centro, os vértices, os focos, os eixos de simetria e as assíntotas.
As informações relevantes já estão todas na equação acima. A resolução começa por pôr essa equação numa forma canónica reconhecível.
Passo 2
Primeiro vamos agrupar termos em
e em
e completar quadrados. Reescrevo a equação agrupando:
Agora completo o quadrado em cada parêntese:
- Para
, o termo que completa o quadrado é porque . - Para
, o termo que completa o quadrado é porque .
Vou substituir esses quadrados ajustando as constantes corretamente.
Passo 3
Substituindo os quadrados com os termos compensadores:
Distribuindo e somando as constantes:
Somando as constantes
, obtemos
Passando o
para o outro lado:
Multiplicando por
para deixar o termo positivo em cima:
Passo 4
Divido ambos os lados por
para obter a forma padrão:
Essa é a forma canónica de uma hipérbole.
Interpretação rápida desta forma:
- A hipérbole tem o termo positivo em
, por isso a sua direcção transversal é vertical (abre para cima e para baixo a partir do centro). - Na forma
temos o centro
,
associado ao eixo transversal (distância do centro até cada vértice ao longo da direcção positiva do primeiro termo), e
associado ao eixo conjugado.
Passo 5
Identifico os parâmetros comparando com a forma padrão:
Explicando o que significam:
-
é a distância do centro até cada vértice ao longo do eixo transversal (aqui vertical). -
é a semi‑largura do retângulo auxiliar cujo canto define a inclinação das assíntotas. - A relação para a distância focal é
(para hipérbole), pois as focais ficam mais longe que os vértices.
Passo 6
Calculo
:
Passo 7
Com isso obtenho as posições pedidas:
-
Centro:
. -
Vértices: estão em
porque o eixo transversal é vertical. Logo
- Focos: estão em
. Assim
Passo 8
Eixos de simetria: a hipérbole é simétrica em relação às retas que passam pelo centro e coincidem com os eixos do formato canónico. São:
A primeira é o eixo transversal (vertical), a segunda é o eixo conjugado (horizontal).
Passo 9
Assíntotas: para a forma
as assíntotas são as retas
Aqui
. Logo as assíntotas são
Simplificando:
Passo 10
Como desenhar o gráfico (passo a passo prático que dá para fazer à mão na prova):
- Marcar o centro em
. - Marcar os vértices em
e — a hipérbole abre para cima e para baixo a partir destes pontos. - Desenhar o retângulo auxiliar centrado em
com semi-eixos na vertical e na horizontal. Os quatro cantos desse retângulo são , isto é . - Traçar as diagonais desse retângulo: elas são exactamente as assíntotas
e . - Desenhar as duas ramas da hipérbole aproximando‑as das assíntotas: cada rama passa por um vértice e tende às linhas assíntotas longe do centro.
Passo 11
Resumo dos valores e interpretação final: a equação dada representa uma hipérbole com centro em
, eixo transversal vertical, vértices em
e
, focos em
, e assíntotas
e
.
Resposta
Hipérbole com equação canónica
Centro:
Vértices: e
Focos: e
Eixos de simetria: e
Assíntotas: e
Centro:
Vértices:
Focos:
Eixos de simetria:
Assíntotas: