Identifique o subconjunto do plano e faça o seu gráfico. Se for uma hipérbole, então determine o centro, os vértices, os focos, os eixos de simetria e as suas assíntotas:
4 x^{2}-y^{2}+8 x+6 y+11=0

Passo 1

O enunciado dá a curva do plano definida pela equação
4x^{2}-y^{2}+8x+6y+11=0
e pede para:
  • identificar o subconjunto do plano (que tipo de cônica é);
  • fazer o gráfico (descrever como desenhar);
  • se for hipérbole: determinar o centro, os vértices, os focos, os eixos de simetria e as assíntotas.
As informações relevantes já estão todas na equação acima. A resolução começa por pôr essa equação numa forma canónica reconhecível.

Passo 2

Primeiro vamos agrupar termos em x e em y e completar quadrados. Reescrevo a equação agrupando:
4(x^{2}+2x) - (y^{2}-6y) +11 = 0.
Agora completo o quadrado em cada parêntese:
  • Para x^{2}+2x, o termo que completa o quadrado é 1 porque (x+1)^{2}=x^{2}+2x+1.
  • Para y^{2}-6y, o termo que completa o quadrado é 9 porque (y-3)^{2}=y^{2}-6y+9.
Vou substituir esses quadrados ajustando as constantes corretamente.

Passo 3

Substituindo os quadrados com os termos compensadores:
4\bigl((x+1)^{2}-1\bigr) - \bigl((y-3)^{2}-9\bigr) +11 = 0.
Distribuindo e somando as constantes:
4(x+1)^{2} -4 - (y-3)^{2} +9 +11 = 0.
Somando as constantes -4+9+11 = 16, obtemos
4(x+1)^{2} - (y-3)^{2} +16 = 0.
Passando o 16 para o outro lado:
4(x+1)^{2} - (y-3)^{2} = -16.
Multiplicando por -1 para deixar o termo positivo em cima:
(y-3)^{2} - 4(x+1)^{2} = 16.

Passo 4

Divido ambos os lados por 16 para obter a forma padrão:
\frac{(y-3)^{2}}{16} - \frac{(x+1)^{2}}{4} = 1.
Essa é a forma canónica de uma hipérbole.
Interpretação rápida desta forma:
  • A hipérbole tem o termo positivo em (y-3)^{2}, por isso a sua direcção transversal é vertical (abre para cima e para baixo a partir do centro).
  • Na forma
\frac{(y-k)^{2}}{a^{2}} - \frac{(x-h)^{2}}{b^{2}} = 1,
temos o centro (h,k), a^{2} associado ao eixo transversal (distância do centro até cada vértice ao longo da direcção positiva do primeiro termo), e b^{2} associado ao eixo conjugado.

Passo 5

Identifico os parâmetros comparando com a forma padrão:
h=-1,\qquad k=3, \qquad a^{2}=16\Rightarrow a=4, \qquad b^{2}=4\Rightarrow b=2.
Explicando o que significam:
  • a é a distância do centro até cada vértice ao longo do eixo transversal (aqui vertical).
  • b é a semi‑largura do retângulo auxiliar cujo canto define a inclinação das assíntotas.
  • A relação para a distância focal é c^{2}=a^{2}+b^{2} (para hipérbole), pois as focais ficam mais longe que os vértices.

Passo 6

Calculo c:
c^{2}=a^{2}+b^{2}=16+4=20\quad\Rightarrow\quad c=\sqrt{20}=2\sqrt{5}.

Passo 7

Com isso obtenho as posições pedidas:
  • Centro: (h,k)=(-1,3).
  • Vértices: estão em (h,k\pm a) porque o eixo transversal é vertical. Logo
\text{vértices }:\quad (-1,\,3+4)=(-1,7)\quad\text{e}\quad(-1,\,3-4)=(-1,-1).é
  • Focos: estão em (h,k\pm c). Assim
\text{focos }:\quad \bigl(-1,\,3+2\sqrt{5}\bigr)\quad\text{e}\quad \bigl(-1,\,3-2\sqrt{5}\bigr).

Passo 8

Eixos de simetria: a hipérbole é simétrica em relação às retas que passam pelo centro e coincidem com os eixos do formato canónico. São:
x=-1\qquad\text{e}\qquad y=3.
A primeira é o eixo transversal (vertical), a segunda é o eixo conjugado (horizontal).

Passo 9

Assíntotas: para a forma
\frac{(y-k)^{2}}{a^{2}} - \frac{(x-h)^{2}}{b^{2}} = 1,
as assíntotas são as retas
y-k = \pm\frac{a}{b}(x-h).
Aqui \dfrac{a}{b}=\dfrac{4}{2}=2. Logo as assíntotas são
y-3 = 2(x+1)\quad\text{e}\quad y-3 = -2(x+1).
Simplificando:
y = 2x+5\quad\text{e}\quad y = -2x+1.

Passo 10

Como desenhar o gráfico (passo a passo prático que dá para fazer à mão na prova):
  1. Marcar o centro em (-1,3).
  2. Marcar os vértices em (-1,7) e (-1,-1) — a hipérbole abre para cima e para baixo a partir destes pontos.
  3. Desenhar o retângulo auxiliar centrado em (-1,3) com semi-eixos a=4 na vertical e b=2 na horizontal. Os quatro cantos desse retângulo são ( -1\pm 2,\;3\pm 4), isto é (1,7),(-3,7),(1,-1),(-3,-1).
  4. Traçar as diagonais desse retângulo: elas são exactamente as assíntotas y=2x+5 e y=-2x+1.
  5. Desenhar as duas ramas da hipérbole aproximando‑as das assíntotas: cada rama passa por um vértice e tende às linhas assíntotas longe do centro.

Passo 11

Resumo dos valores e interpretação final: a equação dada representa uma hipérbole com centro em (-1,3), eixo transversal vertical, vértices em (-1,7) e (-1,-1), focos em \bigl(-1,3\pm 2\sqrt{5}\bigr), e assíntotas y=2x+5 e y=-2x+1.

Resposta

Hipérbole com equação canónica \dfrac{(y-3)^{2}}{16}-\dfrac{(x+1)^{2}}{4}=1
Centro: (-1,3)
Vértices: (-1,7) e (-1,-1)
Focos: \bigl(-1,\,3+2\sqrt{5}\bigr) e \bigl(-1,\,3-2\sqrt{5}\bigr)
Eixos de simetria: x=-1 e y=3
Assíntotas: y=2x+5 e y=-2x+1

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