Identifique a superfície dada.
x^2+4 y^2+8 x-8 y-4 z+28=0

Passo 1

O enunciado dá a superfície quadriculada
x^2 + 4y^2 + 8x - 8y - 4z + 28 = 0
e pede para identificar seu tipo, completando quadrados e comparando com as formas padrão de superfícies.

Passo 2

Complete o quadrado em x e em y.
Para x:
x^2 + 8x = (x+4)^2 - 16
Para y:
4y^2 - 8y = 4l(y^2 - 2yr) = 4l((y-1)^2 - 1r) = 4(y-1)^2 - 4

Passo 3

Substituindo essas expressões na equação original:
(x+4)^2 - 16 + 4(y-1)^2 - 4 - 4z + 28 = 0
As constantes somam -16 -4 +28 = 8, então
(x+4)^2 + 4(y-1)^2 - 4z + 8 = 0
Isolando z:
4z = (x+4)^2 + 4(y-1)^2 + 8,
z = 14(x+4)^2 + (y-1)^2 + 2

Passo 4

A forma
z = (x - x0)^2a^2 + (y - y0)^2b^2 + z0
é a equação de um paraboloide elíptico. Aqui temos x0=-4, y0=1, z0=2, a^2=4 e b^2=1. O vértice é (-4,1,2) e a abertura é no sentido positivo de z.

Resposta

A superfície é um paraboloide elíptico de vértice em (-4,1,2) e abertura ao longo do eixo z.

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