(
) Considere uma matriz quadrada
de ordem
tal que
(matriz nula). Mostre que todos os autovalores de
são 0 . Justifique.
Passo 1
O enunciado diz que
é uma matriz quadrada de ordem
tal que
e pede para mostrar que todo autovalor de
é zero. Vamos usar a definição de autovalor e a propriedade de que se
, então potências de
aplicadas a
dão potências de
.
Passo 2
Suponha que
seja um autovalor de
com vetor próprio não-nulo
. Por definição,
Passo 3
Aplicando
em
e usando que
duas vezes, obtemos
Passo 4
Mas como
, temos
. Logo
E
, logo necessariamente
, o que implica
Resposta
Todo autovalor de
é igual a 0.