( 1 , 5 p t ) Considere uma matriz quadrada A de ordem n tal que A^3=0 (matriz nula). Mostre que todos os autovalores de A são 0 . Justifique.

Passo 1

O enunciado diz que A é uma matriz quadrada de ordem n tal que
A^3 = 0
e pede para mostrar que todo autovalor de A é zero. Vamos usar a definição de autovalor e a propriedade de que se Av=lambda v, então potências de A aplicadas a v dão potências de lambda.

Passo 2

Suponha que lambda seja um autovalor de A com vetor próprio não-nulo v. Por definição,
Av = lambda,v

Passo 3

Aplicando A^3 em v e usando que Av=lambdav duas vezes, obtemos
A^3v = Al(A^2vr) = Al(A(Av)r) = Al(A(lambdav)r) = Al(lambda,Avr) = lambda,A^2v = lambda,A(lambdav) = lambda^2,Av = lambda^2(lambdav) = lambda^3,v

Passo 4

Mas como A^3=0, temos A^3v=0. Logo
lambda^3,v=0
E vneq 0, logo necessariamente lambda^3=0, o que implica
lambda=0

Resposta

Todo autovalor de A é igual a 0.

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