Identifique as superfícies abaixo:
2 z^{2}+4 y^{2}+1=5 x^{2}

Passo 1

O enunciado dá a superfície definida pela equação
2 z^{2}+4 y^{2}+1=5 x^{2}.
O que se pede: identificar qual tipo de superfície quadriculada essa equação representa e descrever suas características principais. Informações relevantes que temos do enunciado:
  • Coeficientes dos termos quadráticos: 5 para x^{2} (quando colocarmos na forma padrão), -4 para y^{2} e -2 para z^{2} (veremos isso ao rearranjar).
  • Termo constante à esquerda é +1.
  • Não há termos mistos xy,xz,yz nem termos lineares em x,y,z.

Passo 2

Primeiro passo operacional: colocar a equação na forma com todos os termos do mesmo lado, para comparar sinais dos quadrados. Subtraindo 2z^{2}+4y^{2}+1 de ambos os lados obtemos
5x^{2}-4y^{2}-2z^{2}=1.

Passo 3

Agora uma breve explicação de como classificar: quadricas de segunda ordem (superfícies quadráticas) sem termos mistos e sem termos lineares têm, na forma geral, algo como
A x^{2}+B y^{2}+C z^{2}=1.
A natureza da superfície depende dos sinais de A,B,C:
  • se todos têm o mesmo sinal (todos positivos) é um elipsoide;
  • se dois têm sinal positivo e um negativo (ou vice‑versa) e o RHS é 1, dá um hiperbolóide de uma folha;
  • se apenas um tem sinal positivo e os outros dois são negativos (ou vice‑versa) e o RHS é 1, dá um hiperbolóide de duas folhas, cujo eixo é o eixo correspondente à variável com sinal isolado.
No nosso caso, depois do rearranjo temos os coeficientes (A,B,C)=(5,-4,-2): há exatamente um coeficiente positivo ( 5, associado a x^{2}) e dois negativos (associados a y^{2} e z^{2}). Pelo critério acima, isso caracteriza um hiperbolóide de duas folhas com eixo paralelo ao eixo da variável que tem coeficiente positivo — aqui, o eixo x.

Passo 4

Para ver isso de modo concreto (e com matemática que dá para reproduzir na prova), colocamos a equação na forma padrão dividindo ambos os lados por 1 (apenas reescrevendo) como
\frac{x^{2}}{1/5}-\frac{y^{2}}{1/4}-\frac{z^{2}}{1/2}=1.
Isto tem a forma padrão
\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=1,
com
a^{2}=\frac{1}{5},\qquad b^{2}=\frac{1}{4},\qquad c^{2}=\frac{1}{2},
ou seja
a=\frac{1}{\sqrt{5}},\qquad b=\frac{1}{2},\qquad c=\frac{1}{\sqrt{2}}.
Interpretação geométrica simples e útil para a prova: a equação implica
5x^{2}=1+4y^{2}+2z^{2}\ge 1,
logo
x^{2}\ge \frac{1}{5}\quad\Rightarrow\quad |x|\ge \frac{1}{\sqrt{5}}.
Isso mostra que não há pontos com |x|<1/\sqrt{5} — a superfície tem duas componentes desconexas: uma para x\ge 1/\sqrt{5} e outra para x\le -1/\sqrt{5}. Cada componente, para um x fixo com |x|>1/\sqrt{5}, é uma elipse em (y,z). Por isso chamamos de hiperbolóide de duas folhas com eixo ao longo do eixo x.

Passo 5

Resumo didático rápido para decorar: ao ver uma equação quadrática sem termos mistos, conte sinais dos coeficientes dos quadrados depois de pôr tudo num lado. Um sinal isolado positivo e dois negativos (ou o contrário) com RHS positivo → hiperbolóide de duas folhas; o eixo é o eixo da variável com sinal isolado.

Resposta

Hiperbolóide de duas folhas com eixo paralelo ao eixo x; forma padrão \dfrac{x^{2}}{1/5}-\dfrac{y^{2}}{1/4}-\dfrac{z^{2}}{1/2}=1 (com a=1/\sqrt{5}, b=1/2, c=1/\sqrt{2}).

Exercícios relacionados