Identifique as superfícies abaixo:
Passo 1
O enunciado dá a superfície definida pela equação
O que se pede: identificar qual tipo de superfície quadriculada essa equação representa e descrever suas características principais. Informações relevantes que temos do enunciado:
- Coeficientes dos termos quadráticos:
para (quando colocarmos na forma padrão), para e para (veremos isso ao rearranjar). - Termo constante à esquerda é
. - Não há termos mistos
nem termos lineares em .
Passo 2
Primeiro passo operacional: colocar a equação na forma com todos os termos do mesmo lado, para comparar sinais dos quadrados. Subtraindo
de ambos os lados obtemos
Passo 3
Agora uma breve explicação de como classificar: quadricas de segunda ordem (superfícies quadráticas) sem termos mistos e sem termos lineares têm, na forma geral, algo como
A natureza da superfície depende dos sinais de
:
- se todos têm o mesmo sinal (todos positivos) é um elipsoide;
- se dois têm sinal positivo e um negativo (ou vice‑versa) e o RHS é
, dá um hiperbolóide de uma folha; - se apenas um tem sinal positivo e os outros dois são negativos (ou vice‑versa) e o RHS é
, dá um hiperbolóide de duas folhas, cujo eixo é o eixo correspondente à variável com sinal isolado.
No nosso caso, depois do rearranjo temos os coeficientes
: há exatamente um coeficiente positivo (
, associado a
) e dois negativos (associados a
e
). Pelo critério acima, isso caracteriza um hiperbolóide de duas folhas com eixo paralelo ao eixo da variável que tem coeficiente positivo — aqui, o eixo
.
Passo 4
Para ver isso de modo concreto (e com matemática que dá para reproduzir na prova), colocamos a equação na forma padrão dividindo ambos os lados por
(apenas reescrevendo) como
Isto tem a forma padrão
com
ou seja
Interpretação geométrica simples e útil para a prova: a equação implica
logo
Isso mostra que não há pontos com
— a superfície tem duas componentes desconexas: uma para
e outra para
. Cada componente, para um
fixo com
, é uma elipse em
. Por isso chamamos de hiperbolóide de duas folhas com eixo ao longo do eixo
.
Passo 5
Resumo didático rápido para decorar: ao ver uma equação quadrática sem termos mistos, conte sinais dos coeficientes dos quadrados depois de pôr tudo num lado. Um sinal isolado positivo e dois negativos (ou o contrário) com RHS positivo → hiperbolóide de duas folhas; o eixo é o eixo da variável com sinal isolado.
Resposta
Hiperbolóide de duas folhas com eixo paralelo ao eixo
; forma padrão
(com
,
,
).