Identifique a superfície que tem a equação dada.
r(u, v)=u^2 i+u cos v j+u sen v k

Passo 1

O enunciado dá uma superfície parametrizada por r(u,v)=u^2,i+ucos v,j+usin v,k. O conteúdo é identificação de superfícies a partir de parametrização e vamos precisar eliminar os parâmetros u e v para chegar a uma equação cartesiana.

Passo 2

Escrevendo as coordenadas em função de u e v:
x = u^2, y = ucos v, z = usin v
Para eliminar v, usamos a identidade trigonométrica cos^2v+sin^2v=1 e calculamos:
y^2+z^2 = (ucos v)^2 + (usin v)^2 = u^2(cos^2v+sin^2v) = u^2

Passo 3

Agora que temos y^2+z^2 = u^2 e x = u^2, basta igualar:
x = u^2 = y^2 + z^2
Essa é a equação cartesiana da superfície.

Passo 4

A equação obtida x = y^2 + z^2 descreve um paraboloide circular de revolução cujo eixo está alinhado com o eixo x.

Resposta

Paraboloide circular com equação x = y^2 + z^2.

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