Calcule o volume de Omega, sabendo que o mesmo é a região situada abaixo de y+z=2, acima de z=0 e delimitada lateralmente pelo cilindro x^2+y^2=4.

Passo 1

O enunciado pede o volume da região Omega limitada por
  • A parte inferior: o plano ,z=0.
  • A parte superior: o plano ,y+z=2.
  • A parede lateral: o cilindro ,x^2+y^2=4.
    Iremos usar integração tripla em coordenadas cilíndricas.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas definimos
x = rcostheta, y = rsintheta, z=z,
com Jacobiano r. A projeção de Omega no plano xy é o disco
D:;0<= r<=2, 0<=theta<=2pi
Para cada (r,theta) em D, z varia de
z=0 até y+z=2;Longrightarrow;z=2 - rsintheta é

Passo 3

O volume é dado por
V =integral triplaOmegadV =integraltheta=0^2piintegralr=0^2integralz=0^,2-rsintheta r;dz,dr,dtheta

Passo 4

Integramos primeiro em z:
integralz=0^2-rsinthetar,dz =rl[zr]0^2-rsintheta =rl(2 - rsinthetar) =2r - r^2sintheta
Logo
V =integral0^2piintegral0^2l(2r - r^2sinthetar),dr,dtheta

Passo 5

Integramos agora em r:
integral0^2l(2r - r^2sinthetar)dr =l[r^2r]0^2 -sintheta;l[tfracr^33r]0^2 =4 - 83sintheta
Então
V =integral0^2pil(4 - tfrac83sinthetar),dtheta

Passo 6

Por fim,
integral0^2pi4,dtheta = 8pi, integral0^2pisintheta,dtheta = 0,
logo
V = 8pi - 83cdot0 = 8pi

Resposta

V = 8pi

Exercícios relacionados