Calcule
.
Passo 1
O enunciado nos pede para calcular a integral
O conteúdo aqui é mudança para coordenadas polares, pois tanto o domínio quanto o integrando dependem de
.
Passo 2
Vamos descrever o domínio
em coordenadas cartesianas:
Esse conjunto é exatamente o quarto de disco de raio
no primeiro quadrante.
Passo 3
Fazemos a substituição para coordenadas polares
com Jacobiano
.
No primeiro quadrante temos
No primeiro quadrante temos
Passo 4
O integrando
em polares fica
. Assim a integral vira
Passo 5
Calculamos primeiro a integral em
. Seja
, então
, ou
Os limites vão de
(
) até
(
), logo
Passo 6
Agora a parte em
é imediata:
Multiplicando tudo, a integral dupla vale