Calcule integral0^1 d x integral0^raiz1-x^2 1raiz1-x^2-y^2 d y.

Passo 1

O enunciado nos pede para calcular a integral
integral0^1!dxintegral0^raiz1-x^21raiz1-x^2-y^2,dy
O conteúdo aqui é mudança para coordenadas polares, pois tanto o domínio quanto o integrando dependem de x^2+y^2.

Passo 2

Vamos descrever o domínio D em coordenadas cartesianas:
D = l(x,y)mid 0<= x<=1,;0<= y<=raiz1-x^2r
Esse conjunto é exatamente o quarto de disco de raio 1 no primeiro quadrante.

Passo 3

Fazemos a substituição para coordenadas polares
x = rcostheta, y = rsintheta,
com Jacobiano dx,dy = r,dr,dtheta.
No primeiro quadrante temos
0<= r<=1, 0<= theta<= pi2

Passo 4

O integrando 1/raiz1 - x^2 - y^2 em polares fica 1/raiz1 - r^2. Assim a integral vira
integral0^1!dxintegral0^raiz1-x^21raiz1-x^2-y^2,dy = integral0^pi/2!dtheta integral0^1rraiz1-r^2,dr

Passo 5

Calculamos primeiro a integral em r. Seja u = 1 - r^2, então du = -2r,dr, ou
r,dr = -12,du
Os limites vão de r=0 ( u=1) até r=1 ( u=0), logo
integral0^1rraiz1-r^2,dr = integral1^0 -12u^-1/2,du = 12integral0^1u^-1/2,du = 12l[2u^1/2r]0^1 =1

Passo 6

Agora a parte em theta é imediata:
integral0^pi/2dtheta = pi2
Multiplicando tudo, a integral dupla vale
1 times pi2 = pi2

Resposta

pi2

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