Identifique as superfícies abaixo:
Passo 1
O enunciado pede que eu identifique a superfície dada pela equação
Informações relevantes que o enunciado dá:
não há termos lineares (como
,
ou
isolados) nem termos mistos (
,
,
). A tarefa é dizer que tipo de superfície quadrática essa equação representa e, se for possível, escrever sua forma canônica e características geométricas (centro, eixos, etc.).
Passo 2
Primeiro passo algébrico simples: colocar todos os termos do mesmo lado para obter uma forma padrão. Vou levar
e
para o lado esquerdo:
Multiplicando por
(para ter o
com sinal positivo) fica
Agora isolo o termo constante do outro lado:
Passo 3
Para comparar com as formas canônicas clássicas de superfícies quadráticas, divido ambos os lados por
(o lado direito) para ficar com o lado direito igual a
:
Simplificando as frações obtenho
Aqui podemos identificar os denominadores como os quadrados dos semi-eixos:
,
,
.
Passo 4
Agora a parte teórica didática e essencial para identificar a superfície (lembre-se que isso cai muito na prova):
- Um quádruplo geral na forma diagonalizada com RHS igual a
pode ter assinaturas diferentes (sinais dos coeficientes das quadráticas). As formas mais comuns são: - Elipsoide: todos os termos com o mesmo sinal (por exemplo
). - Hiperbolóide de uma folha: duas parcelas positivas e uma negativa, por exemplo
. - Hiperbolóide de duas folhas: uma parcela positiva e duas negativas, por exemplo
.
- Elipsoide: todos os termos com o mesmo sinal (por exemplo
- A variável cujo quadrado aparece com sinal oposto (no nosso caso
com sinal negativo) indica o eixo ao longo do qual a superfície “se alonga” (eixo do hiperbolóide).
No nosso caso, depois da divisão por
temos dois termos positivos (
e
) e um termo negativo (
). Isso corresponde exatamente à forma padrão de um hiperbolóide de uma folha:
Passo 5
Interpretações e confirmações úteis na prova (mostram que você entende a geometria, e são fáceis de escrever sob pressão):
- Centro: como não há termos lineares, o centro é a origem
. - Eixo do hiperbolóide: é o eixo associado à variável com sinal diferente, aqui é o eixo
. Ou seja, a superfície é simétrica em relação ao eixo e vai se estender para . - Valores dos semi-eixos (parâmetros):
Assim , , . - Traços (seções planas) para visualizar:
- Plano
: , uma elipse (seção central). - Plano
: , uma hipérbole no plano . - Plano
: , uma hipérbole no plano .
Essas seções confirmam que há uma elipse central e hipérboles nas secções contendo o eixo, comportamento típico do hiperbolóide de uma folha.
- Plano
Passo 6
Resumo prático para a prova (o que escrever rapidamente):
- Reescrever a equação como
. - Observar dois coeficientes positivos e um negativo → hiperbolóide de uma folha.
- Centro na origem e eixo ao longo de
. Indicar , , se pedirem dimensões.
Resposta
Hiperbolóide de uma folha, centrado na origem, com equação canônica
.