Identifique as superfícies abaixo:
4 z^{2}-3 y^{2}=x^{2}-8

Passo 1

O enunciado pede que eu identifique a superfície dada pela equação
4 z^{2}-3 y^{2}=x^{2}-8.
Informações relevantes que o enunciado dá:
4 z^{2}-3 y^{2}=x^{2}-8
não há termos lineares (como x, y ou z isolados) nem termos mistos ( xy, xz, yz). A tarefa é dizer que tipo de superfície quadrática essa equação representa e, se for possível, escrever sua forma canônica e características geométricas (centro, eixos, etc.).

Passo 2

Primeiro passo algébrico simples: colocar todos os termos do mesmo lado para obter uma forma padrão. Vou levar x^{2} e -8 para o lado esquerdo:
4 z^{2}-3 y^{2}-x^{2}+8=0.
Multiplicando por -1 (para ter o x^{2} com sinal positivo) fica
x^{2}+3 y^{2}-4 z^{2}-8=0.
Agora isolo o termo constante do outro lado:
x^{2}+3 y^{2}-4 z^{2}=8.

Passo 3

Para comparar com as formas canônicas clássicas de superfícies quadráticas, divido ambos os lados por 8 (o lado direito) para ficar com o lado direito igual a 1:
\frac{x^{2}}{8}+\frac{3 y^{2}}{8}-\frac{4 z^{2}}{8}=1.
Simplificando as frações obtenho
\frac{x^{2}}{8}+\frac{y^{2}}{8/3}-\frac{z^{2}}{2}=1.
Aqui podemos identificar os denominadores como os quadrados dos semi-eixos: a^{2}=8, b^{2}=8/3, c^{2}=2.

Passo 4

Agora a parte teórica didática e essencial para identificar a superfície (lembre-se que isso cai muito na prova):
  • Um quádruplo geral na forma diagonalizada com RHS igual a 1 pode ter assinaturas diferentes (sinais dos coeficientes das quadráticas). As formas mais comuns são:
    • Elipsoide: todos os termos com o mesmo sinal (por exemplo \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1).
    • Hiperbolóide de uma folha: duas parcelas positivas e uma negativa, por exemplo \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=1.
    • Hiperbolóide de duas folhas: uma parcela positiva e duas negativas, por exemplo \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=1.
  • A variável cujo quadrado aparece com sinal oposto (no nosso caso z^{2} com sinal negativo) indica o eixo ao longo do qual a superfície “se alonga” (eixo do hiperbolóide).
No nosso caso, depois da divisão por 8 temos dois termos positivos ( \frac{x^{2}}{8} e \frac{y^{2}}{8/3}) e um termo negativo ( -\frac{z^{2}}{2}). Isso corresponde exatamente à forma padrão de um hiperbolóide de uma folha:
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=1.

Passo 5

Interpretações e confirmações úteis na prova (mostram que você entende a geometria, e são fáceis de escrever sob pressão):
  • Centro: como não há termos lineares, o centro é a origem (0,0,0).
  • Eixo do hiperbolóide: é o eixo associado à variável com sinal diferente, aqui é o eixo z. Ou seja, a superfície é simétrica em relação ao eixo z e vai se estender para z\to\pm\infty.
  • Valores dos semi-eixos (parâmetros): a^{2}=8,\qquad b^{2}=\frac{8}{3},\qquad c^{2}=2.Assim a=2\sqrt{2}, b=2\sqrt{\tfrac{2}{3}}, c=\sqrt{2}.
  • Traços (seções planas) para visualizar:
    • Plano z=0: \displaystyle \frac{x^{2}}{8}+\frac{y^{2}}{8/3}=1, uma elipse (seção central).
    • Plano x=0: \displaystyle \frac{y^{2}}{8/3}-\frac{z^{2}}{2}=1, uma hipérbole no plano yz.
    • Plano y=0: \displaystyle \frac{x^{2}}{8}-\frac{z^{2}}{2}=1, uma hipérbole no plano xz.
      Essas seções confirmam que há uma elipse central e hipérboles nas secções contendo o eixo z, comportamento típico do hiperbolóide de uma folha.

Passo 6

Resumo prático para a prova (o que escrever rapidamente):
  • Reescrever a equação como \displaystyle \frac{x^{2}}{8}+\frac{y^{2}}{8/3}-\frac{z^{2}}{2}=1.
  • Observar dois coeficientes positivos e um negativo → hiperbolóide de uma folha.
  • Centro na origem e eixo ao longo de z. Indicar a^{2}=8, b^{2}=8/3, c^{2}=2 se pedirem dimensões.

Resposta

Hiperbolóide de uma folha, centrado na origem, com equação canônica \displaystyle \frac{x^{2}}{8}+\frac{y^{2}}{8/3}-\frac{z^{2}}{2}=1.

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