Identifique as superfícies abaixo:
x^{2}-3 y^{2}=z^{2}+7

Passo 1

O enunciado dá a equação
x^{2}-3y^{2}=z^{2}+7
e pede que eu identifique a(s) superfície(s) descrita(s) por essa equação. Informações relevantes que já vêm no enunciado:
  • A equação envolve as variáveis (x,y,z).
  • Não há termos mistos xy, xz, yz nem termos lineares.
  • A equação é uma superfície de segundo grau (uma quádrupla de grau 2) em \mathbb{R}^3.
    A partir daqui vou transformar e classificar a superfície passo a passo.

Passo 2

Primeiro reorganizo a equação para colocar todos os termos do mesmo lado, obtendo uma forma mais clara:
x^{2}-3y^{2}-z^{2}=7.
Isto é só algebra elemental: subtraí z^{2}+7 dos dois lados.

Passo 3

É comum comparar com as formas canônicas dividindo pelo lado direito para obter um =1. Divido ambos os lados por 7:
\frac{x^{2}}{7}-\frac{3y^{2}}{7}-\frac{z^{2}}{7}=1.
Podemos também reescrever os termos com coeficientes explícitos:
\frac{x^{2}}{7}-\frac{3y^{2}}{7}-\frac{z^{2}}{7}=1.
(Observe: \dfrac{3y^{2}}{7}=\dfrac{y^{2}}{7/3}, mas a forma \dfrac{3y^{2}}{7} é mais direta aqui.)

Passo 4

Agora explico a regra de classificação (bem didática): para uma superfície quadrática diagonalizada na forma
\frac{\text{(variável)}^{2}}{A}\pm\frac{\text{(variável)}^{2}}{B}\pm\frac{\text{(variável)}^{2}}{C}=1,ááá
o tipo da superfície depende dos sinais dos termos:
  • Se todos os três termos têm o mesmo sinal (todos positivos) dá um elipsoide.
  • Se dois termos têm um sinal e o terceiro tem sinal oposto (dois positivos e um negativo, ou dois negativos e um positivo) obtém-se um hiperbolóide. Se dois positivos e um negativo → hiperbolóide de uma folha; se um positivo e dois negativos → hiperbolóide de duas folhas. A orientação (para qual eixo as folhas abrem) é dada pela variável cujo termo tem sinal diferente (o termo positivo único quando for o caso de duas folhas).
    No nosso caso a forma é
\frac{x^{2}}{7}-\frac{3y^{2}}{7}-\frac{z^{2}}{7}=1,
ou seja, os sinais são +,-,-: há exatamente um sinal positivo (o do termo em x^{2}) e dois negativos (os de y^{2} e z^{2}). Pela regra acima isso indica um hiperbolóide de duas folhas, com eixo dirigido ao longo da variável que tem o sinal positivo — aqui, o eixo x.

Passo 5

Para ver de forma mais intuitiva por que são duas folhas, resolvo em função de x:
x^{2}=7+3y^{2}+z^{2}.
O lado direito é sempre maior ou igual a 7 (pois 3y^{2}+z^{2}\ge 0 para todo y,z). Logo
x^{2}\ge 7 \quad\Rightarrow\quad |x|\ge \sqrt{7}.
Isto mostra que não há pontos da superfície com |x|<\sqrt{7}: existem dois conjuntos desconexos de pontos, um com x\ge \sqrt{7} e outro com x\le -\sqrt{7}. Cada conjunto é uma “folha” do hiperbolóide — portanto duas folhas, simetricamente situadas em torno da origem e estendendo-se ao longo dos sentidos positivo e negativo do eixo x.

Passo 6

(Examinar cortes/traços ajuda a entender a forma.)
  • Corte por x=0: da equação original 0-3y^{2}=z^{2}+7 ou -3y^{2}-z^{2}=7. Isso é impossível em reais (soma de termos não-positivos igual a 7>0), logo o traço em x=0 é vazio — coerente com a ausência de pontos para |x|<\sqrt{7}.
  • Corte por y=0: obtemos x^{2}-z^{2}=7, que é uma hipérbole no plano y=0.
  • Corte por z=0: obtemos x^{2}-3y^{2}=7, também uma hipérbole no plano z=0.
  • Para uma seção fixa x=x_{0} com |x_{0}|>\sqrt{7}, a equação vira
3y^{2}+z^{2}=x_{0}^{2}-7,
que é uma elipse no plano perpendicular ao eixo x. Para |x_{0}|<\sqrt{7} não há interseção (o lado direito seria negativo). Isso descreve exatamente o formato de duas “folhas” fechadas por fatias elípticas ao longo de x.

Passo 7

Podemos também apontar a cone assintótico (importante em provas): ao zerar a constante obtemos a superfície limite quando as coordenadas crescem,
x^{2}-3y^{2}-z^{2}=0,
que é um cone duplo com vértice na origem. O hiperbolóide de duas folhas aproxima-se desse cone quando |x|,|y|,|z| tendem a infinito na razão adequada.

Passo 8

Resumo didático curto: tomada a forma canônica e observando os sinais dos coeficientes (um positivo, dois negativos) com o lado direito positivo, reconhecemos a superfície como um hiperbolóide de duas folhas. A folha positiva está para x\ge\sqrt{7} e a folha negativa para x\le -\sqrt{7}; se cortarmos por planícies perpendiculares ao eixo x com |x|>\sqrt{7} obtemos elipses, e nas planícies coordenadas y=0 ou z=0 aparecem hipérboles.

Resposta

Hipérbolóide de duas folhas com eixo ao longo do eixo x; forma canônica \dfrac{x^{2}}{7}-\dfrac{3y^{2}}{7}-\dfrac{z^{2}}{7}=1. Folhas para x\ge\sqrt{7} e x\le -\sqrt{7}.

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