Identifique as superfícies abaixo:
Passo 1
O enunciado dá a equação
e pede que eu identifique a(s) superfície(s) descrita(s) por essa equação. Informações relevantes que já vêm no enunciado:
- A equação envolve as variáveis
. - Não há termos mistos
nem termos lineares. - A equação é uma superfície de segundo grau (uma quádrupla de grau 2) em
.
A partir daqui vou transformar e classificar a superfície passo a passo.
Passo 2
Primeiro reorganizo a equação para colocar todos os termos do mesmo lado, obtendo uma forma mais clara:
Isto é só algebra elemental: subtraí
dos dois lados.
Passo 3
É comum comparar com as formas canônicas dividindo pelo lado direito para obter um
. Divido ambos os lados por
:
Podemos também reescrever os termos com coeficientes explícitos:
(Observe:
, mas a forma
é mais direta aqui.)
Passo 4
Agora explico a regra de classificação (bem didática): para uma superfície quadrática diagonalizada na forma
o tipo da superfície depende dos sinais dos termos:
- Se todos os três termos têm o mesmo sinal (todos positivos) dá um elipsoide.
- Se dois termos têm um sinal e o terceiro tem sinal oposto (dois positivos e um negativo, ou dois negativos e um positivo) obtém-se um hiperbolóide. Se dois positivos e um negativo → hiperbolóide de uma folha; se um positivo e dois negativos → hiperbolóide de duas folhas. A orientação (para qual eixo as folhas abrem) é dada pela variável cujo termo tem sinal diferente (o termo positivo único quando for o caso de duas folhas).
No nosso caso a forma é
ou seja, os sinais são
: há exatamente um sinal positivo (o do termo em
) e dois negativos (os de
e
). Pela regra acima isso indica um hiperbolóide de duas folhas, com eixo dirigido ao longo da variável que tem o sinal positivo — aqui, o eixo
.
Passo 5
Para ver de forma mais intuitiva por que são duas folhas, resolvo em função de
:
O lado direito é sempre maior ou igual a
(pois
para todo
). Logo
Isto mostra que não há pontos da superfície com
: existem dois conjuntos desconexos de pontos, um com
e outro com
. Cada conjunto é uma “folha” do hiperbolóide — portanto duas folhas, simetricamente situadas em torno da origem e estendendo-se ao longo dos sentidos positivo e negativo do eixo
.
Passo 6
(Examinar cortes/traços ajuda a entender a forma.)
- Corte por
: da equação original ou . Isso é impossível em reais (soma de termos não-positivos igual a ), logo o traço em é vazio — coerente com a ausência de pontos para . - Corte por
: obtemos , que é uma hipérbole no plano . - Corte por
: obtemos , também uma hipérbole no plano . - Para uma seção fixa
com , a equação vira
que é uma elipse no plano perpendicular ao eixo
. Para
não há interseção (o lado direito seria negativo). Isso descreve exatamente o formato de duas “folhas” fechadas por fatias elípticas ao longo de
.
Passo 7
Podemos também apontar a cone assintótico (importante em provas): ao zerar a constante obtemos a superfície limite quando as coordenadas crescem,
que é um cone duplo com vértice na origem. O hiperbolóide de duas folhas aproxima-se desse cone quando
tendem a infinito na razão adequada.
Passo 8
Resumo didático curto: tomada a forma canônica e observando os sinais dos coeficientes (um positivo, dois negativos) com o lado direito positivo, reconhecemos a superfície como um hiperbolóide de duas folhas. A folha positiva está para
e a folha negativa para
; se cortarmos por planícies perpendiculares ao eixo
com
obtemos elipses, e nas planícies coordenadas
ou
aparecem hipérboles.
Resposta
Hipérbolóide de duas folhas com eixo ao longo do eixo
; forma canônica
. Folhas para
e
.