Classifique cada equaçāo quanto ao tipo, ordem e linearidade.
.
Passo 1
O enunciado pede para classificar a equação
Informações dadas (explícitas):
- A equação envolve
e sua derivada . - A notação
indica derivada de em relação a uma variável independente que vou chamar de .
As perguntas implícitas são: qual é o tipo da equação, qual a sua ordem e se é linear ou não (além de outras classificações úteis, como se é separável ou autônoma).
Passo 2
Identificar variáveis e o que a notação significa.
-
é a função incógnita dependente de . -
é a derivada de primeira ordem.
Isso confirma que trabalhamos com uma equação diferencial em derivadas ordinárias (não parciais), envolvendo derivada em relação a uma única variável.
Passo 3
Determinar a ordem da equação.
- Ordem de uma equação diferencial é a maior ordem de derivada que aparece.
- Aqui aparece apenas
(derivada de primeira ordem) e nenhuma derivada de ordem superior.
Portanto a equação é de primeira ordem.
Passo 4
Verificar se é uma equação diferencial ordinária ou parcial.
- Uma EDO (equação diferencial ordinária) envolve derivadas em relação a uma única variável independente; uma EDP envolve derivadas parciais em relação a mais de uma variável independente.
- Como só aparece
(derivada ordinária), trata-se de uma equação diferencial ordinária (EDO).
Passo 5
Definição e teste de linearidade (passo-a-passo didático).
- Uma EDO de primeira ordem é dita linear se puder ser escrita na forma
onde
e
são funções que dependem apenas da variável independente
(não podem depender de
).
- Vamos colocar a equação dada numa forma com
isolado. Começamos com
Dividindo por
(que é não nulo) obtemos
- Observe o termo que multiplica
: é , que depende de , não de . Isso viola a condição de linearidade (o coeficiente de deve ser função apenas de ).
Portanto a equação não é linear; é uma EDO não linear.
Passo 6
Verificar se é separável e se é autônoma (classificações úteis e como reconhecer).
- Uma EDO de primeira ordem é separável se puder ser escrita na forma
de modo que todos os termos em
fiquem de um lado e os termos em
do outro.
- A partir de
isolamos
:
Isso mostra
com
(função apenas de
) e
(função apenas de
). Logo é separável.
- Além disso, note que o lado direito
não depende explicitamente de . Uma EDO cuja forma depende apenas de é chamada de autônoma. Aqui temos , então a equação é autônoma.
Passo 7
Resumo das características e interpretação prática (o que isso implica na prova).
- Ordem: primeira ordem (porque só aparece
). - Tipo: equação diferencial ordinária (EDO), pois envolve derivada em relação a uma única variável
. - Linearidade: não é linear, porque o coeficiente de
na forma padrão depende de (ex.: ). - Separabilidade: é separável, pois pode ser escrita como
e então separar as variáveis para integrar. - Autonomia: é autônoma porque o lado direito depende somente de
, não de .
Resposta
Equação diferencial ordinária (EDO).
Ordem: .
Linearidade: não linear.
Separável: sim.
Autônoma: sim.
Ordem:
Linearidade: não linear.
Separável: sim.
Autônoma: sim.