Classifique cada equaçāo quanto ao tipo, ordem e linearidade.
e^{y} y^{\prime}+y=0.

Passo 1

O enunciado pede para classificar a equação
e^{y} y' + y = 0.
Informações dadas (explícitas):
  • A equação envolve y e sua derivada y'.
  • A notação y' indica derivada de y em relação a uma variável independente que vou chamar de x.
    As perguntas implícitas são: qual é o tipo da equação, qual a sua ordem e se é linear ou não (além de outras classificações úteis, como se é separável ou autônoma).

Passo 2

Identificar variáveis e o que a notação significa.
  • y = y(x) é a função incógnita dependente de x.
  • y'=\dfrac{dy}{dx} é a derivada de primeira ordem.
    Isso confirma que trabalhamos com uma equação diferencial em derivadas ordinárias (não parciais), envolvendo derivada em relação a uma única variável x.

Passo 3

Determinar a ordem da equação.
  • Ordem de uma equação diferencial é a maior ordem de derivada que aparece.
  • Aqui aparece apenas y' (derivada de primeira ordem) e nenhuma derivada de ordem superior.
    Portanto a equação é de primeira ordem.

Passo 4

Verificar se é uma equação diferencial ordinária ou parcial.
  • Uma EDO (equação diferencial ordinária) envolve derivadas em relação a uma única variável independente; uma EDP envolve derivadas parciais em relação a mais de uma variável independente.
  • Como só aparece y' (derivada ordinária), trata-se de uma equação diferencial ordinária (EDO).

Passo 5

Definição e teste de linearidade (passo-a-passo didático).
  • Uma EDO de primeira ordem é dita linear se puder ser escrita na forma
y' + p(x)\,y = q(x),
onde p(x) e q(x) são funções que dependem apenas da variável independente x (não podem depender de y).
  • Vamos colocar a equação dada numa forma com y' isolado. Começamos com
e^{y} y' + y = 0.
Dividindo por e^{y} (que é não nulo) obtemos
y' + y\,e^{-y} = 0.
  • Observe o termo que multiplica y: é e^{-y}, que depende de y, não de x. Isso viola a condição de linearidade (o coeficiente de y deve ser função apenas de x).
    Portanto a equação não é linear; é uma EDO não linear.

Passo 6

Verificar se é separável e se é autônoma (classificações úteis e como reconhecer).
  • Uma EDO de primeira ordem é separável se puder ser escrita na forma
\frac{dy}{dx}=g(x)\,h(y)
de modo que todos os termos em y fiquem de um lado e os termos em x do outro.
  • A partir de
e^{y} y' + y = 0
isolamos y':
y' = -y\,e^{-y}.
Isso mostra y' = g(x)\,h(y) com g(x) = -1 (função apenas de x) e h(y)=y\,e^{-y} (função apenas de y). Logo é separável.
  • Além disso, note que o lado direito -y e^{-y} não depende explicitamente de x. Uma EDO cuja forma y' = f(y) depende apenas de y é chamada de autônoma. Aqui temos y' = f(y), então a equação é autônoma.

Passo 7

Resumo das características e interpretação prática (o que isso implica na prova).
  • Ordem: primeira ordem (porque só aparece y').
  • Tipo: equação diferencial ordinária (EDO), pois envolve derivada em relação a uma única variável x.
  • Linearidade: não é linear, porque o coeficiente de y na forma padrão depende de y (ex.: e^{-y}).
  • Separabilidade: é separável, pois pode ser escrita como \dfrac{dy}{dx}=-y\,e^{-y} e então separar as variáveis para integrar.
  • Autonomia: é autônoma porque o lado direito depende somente de y, não de x.

Resposta

Equação diferencial ordinária (EDO).
Ordem: 1.
Linearidade: não linear.
Separável: sim.
Autônoma: sim.

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