Identifique as superfícies abaixo:
7 x^{2}-4 z=-3 y^{2}

Passo 1

O enunciado pede que eu identifique a superfície dada pela equação
7x^{2}-4z=-3y^{2}.
Informações disponíveis: os coeficientes numéricos são 7, -4 e -3; a equação relaciona x, y e z por termos quadráticos em x e y e termo linear em z. A tarefa é dizer que tipo de superfície isso representa (nome, vértice, direção de abertura etc.).

Passo 2

Primeiro passo algébrico simples: isolo z para escrever a equação num formato mais transparente. Parto de
7x^{2}-4z=-3y^{2}.
Somando 3y^{2} em ambos os lados e dividindo por -4 (ou mais direto: passo -4z para o outro lado e os termos quadráticos para o lado de z), obtenho
7x^{2}+3y^{2}-4z=0.
Agora isolo z:
-4z = -7x^{2}-3y^{2}\quad\Rightarrow\quad z=\frac{7}{4}x^{2}+\frac{3}{4}y^{2}.
Escolhi isolar z porque a equação já é linear em z e fica fácil comparar com formas padrão de superfícies quadráticas.

Passo 3

Vou explicar o que significa ter uma equação da forma
z = A x^{2} + B y^{2},
onde A e B são constantes. Essa forma é a forma canônica de um paraboloide: mais precisamente, se A e B tiverem o mesmo sinal positivo, a superfície é chamada de paraboloide elíptico (abre num sentido), com vértice no ponto onde x=0 e y=0. No nosso caso temos A=\frac{7}{4}>0 e B=\frac{3}{4}>0, ambos positivos, então estamos no caso de paraboloide elíptico que abre na direção em que z cresce (direção positiva de z).
Explicando as palavras:
  • “Paraboloide” quer dizer que as seções por planos contendo o eixo de simetria são parábolas.
  • “Elíptico” indica que as seções por planos paralelos ao plano z= constante (ou seja, níveis de z) são elipses (quando z é maior que o valor do vértice).
  • “Vértice” é o ponto de menor (ou maior) z dependendo do sentido de abertura; aqui será o ponto de menor z.

Passo 4

Verifico o vértice e a direção de abertura. A equação z=\frac{7}{4}x^{2}+\frac{3}{4}y^{2} atinge o menor valor de z quando x=0 e y=0, porque x^{2} e y^{2} são sempre não negativos. Assim o vértice é o ponto
(0,0,0).
Como os coeficientes de x^{2} e y^{2} são positivos, a superfície abre para valores maiores de z: abre para cima, isto é, na direção positiva de z.

Passo 5

Para fixar a intuição, vejo as seções por planos coordenados:
  • Seção por um plano horizontal z=z_{0} (número fixo). Da equação
z_{0}=\frac{7}{4}x^{2}+\frac{3}{4}y^{2}
com z_{0}>0 obtemos, dividindo por z_{0},
\frac{x^{2}}{\tfrac{4}{7}z_{0}}+\frac{y^{2}}{\tfrac{4}{3}z_{0}}=1,
que é a equação de uma elipse (para z_{0}>0). Para z_{0}=0 a única solução é x=0,y=0 (ponto), e para z_{0}<0 não há soluções reais — condiz com a abertura para cima.
  • Seção por um plano vertical x=x_{0} fixo. A equação fica
z=\frac{7}{4}x_{0}^{2}+\frac{3}{4}y^{2},
ou seja, em coordenadas (y,z) é uma parábola com eixo paralelo a z e vértice em y=0,\,z=\frac{7}{4}x_{0}^{2}. Isso mostra que qualquer plano contendo o eixo z cruza a superfície em parábolas.
O mesmo raciocínio vale para planos y=y_{0} fixos: obtemos parábolas em x- z.

Passo 6

Resumo das propriedades importantes (úteis na prova):
  • Forma canônica: \displaystyle z=\frac{7}{4}x^{2}+\frac{3}{4}y^{2}.
  • Vértice: (0,0,0).
  • Eixo de simetria: eixo z (a superfície é invariante por rotações de 180º em torno do eixo z trocando x por -x e y por -y, e tem simetrias reflexivas).
  • Seções horizontais z=z_{0}>0 são elipses; seções por planos que contêm o eixo z são parábolas.
  • Classificação: paraboloide elíptico que abre para +\!z.

Passo 7

Pequeno reforço didático com um exemplo similar para fixar: se eu tivesse z = x^{2}-y^{2} (um A>0 e B<0), a superfície seria um paraboloide hiperbólico (sela) — note que a troca de sinal entre os coeficientes altera radicalmente o tipo de superfície. No nosso problema ambos positivos, então o resultado é o mais “suave”: paraboloide elíptico.

Resposta

Paraboloide elíptico com vértice em (0,0,0) que abre na direção positiva de z: z=\dfrac{7}{4}x^{2}+\dfrac{3}{4}y^{2}.

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