Identifique as superfícies abaixo:
Passo 1
O enunciado pede que eu identifique a superfície dada pela equação
Informações disponíveis: os coeficientes numéricos são
,
e
; a equação relaciona
,
e
por termos quadráticos em
e
e termo linear em
. A tarefa é dizer que tipo de superfície isso representa (nome, vértice, direção de abertura etc.).
Passo 2
Primeiro passo algébrico simples: isolo
para escrever a equação num formato mais transparente. Parto de
Somando
em ambos os lados e dividindo por
(ou mais direto: passo
para o outro lado e os termos quadráticos para o lado de
), obtenho
Agora isolo
:
Escolhi isolar
porque a equação já é linear em
e fica fácil comparar com formas padrão de superfícies quadráticas.
Passo 3
Vou explicar o que significa ter uma equação da forma
onde
e
são constantes. Essa forma é a forma canônica de um paraboloide: mais precisamente, se
e
tiverem o mesmo sinal positivo, a superfície é chamada de paraboloide elíptico (abre num sentido), com vértice no ponto onde
e
. No nosso caso temos
e
, ambos positivos, então estamos no caso de paraboloide elíptico que abre na direção em que
cresce (direção positiva de
).
Explicando as palavras:
- “Paraboloide” quer dizer que as seções por planos contendo o eixo de simetria são parábolas.
- “Elíptico” indica que as seções por planos paralelos ao plano
constante (ou seja, níveis de ) são elipses (quando é maior que o valor do vértice). - “Vértice” é o ponto de menor (ou maior)
dependendo do sentido de abertura; aqui será o ponto de menor .
Passo 4
Verifico o vértice e a direção de abertura. A equação
atinge o menor valor de
quando
e
, porque
e
são sempre não negativos. Assim o vértice é o ponto
Como os coeficientes de
e
são positivos, a superfície abre para valores maiores de
: abre para cima, isto é, na direção positiva de
.
Passo 5
Para fixar a intuição, vejo as seções por planos coordenados:
- Seção por um plano horizontal
(número fixo). Da equação
com
obtemos, dividindo por
,
que é a equação de uma elipse (para
). Para
a única solução é
(ponto), e para
não há soluções reais — condiz com a abertura para cima.
- Seção por um plano vertical
fixo. A equação fica
ou seja, em coordenadas
é uma parábola com eixo paralelo a
e vértice em
. Isso mostra que qualquer plano contendo o eixo
cruza a superfície em parábolas.
O mesmo raciocínio vale para planos
fixos: obtemos parábolas em
-
.
Passo 6
Resumo das propriedades importantes (úteis na prova):
- Forma canônica:
. - Vértice:
. - Eixo de simetria: eixo
(a superfície é invariante por rotações de 180º em torno do eixo trocando por e por , e tem simetrias reflexivas). - Seções horizontais
são elipses; seções por planos que contêm o eixo são parábolas. - Classificação: paraboloide elíptico que abre para
.
Passo 7
Pequeno reforço didático com um exemplo similar para fixar: se eu tivesse
(um
e
), a superfície seria um paraboloide hiperbólico (sela) — note que a troca de sinal entre os coeficientes altera radicalmente o tipo de superfície. No nosso problema ambos positivos, então o resultado é o mais “suave”: paraboloide elíptico.
Resposta
Paraboloide elíptico com vértice em
que abre na direção positiva de
:
.