Identifique as superfícies abaixo:
9 x^{2}+3 z^{2}-8 y^{2}=0

Passo 1

Enunciado: identificar a superfície dada pela equação 9x^{2}+3z^{2}-8y^{2}=0.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
9x^{2}+3z^{2}-8y^{2}=0
  • É uma equação quadrática homogênea (todos os termos são de grau 2 e não há termos lineares nem constantes).
  • A origem (0,0,0) satisfaz a equação.
  • Não há informações extras (como deslocamento ou termos mistos) além dos coeficientes dos quadrados.

Passo 2

Observação importante sobre formas homogêneas: se uma equação quadrática homogênea satisfaz
Q(x,y,z)=0,
então, para qualquer t\in\mathbb{R}, se (x,y,z) é solução, (tx,ty,tz) também é solução (porque cada termo escala por t^{2}). Isso significa geometricamente que a superfície é formada por retas passando pela origem — ou seja, é uma superfície cônica (tem vértice na origem). Vou usar essa ideia para mostrar que a dada é mesmo um cone duplo.

Passo 3

Estudo das seções por planos y=\text{constante}. Fixe y=k.
Se k=0, a equação vira
9x^{2}+3z^{2}=0,
o que implica x=0 e z=0. Portanto a interseção com o plano y=0 é apenas o ponto (0,0,0) — o vértice do cone.
Se k\neq 0, substituindo y=k obtemos
9x^{2}+3z^{2}=8k^{2}.
Essa é a equação de uma elipse no plano (x,z) (porque os coeficientes de x^{2} e z^{2} são positivos e o lado direito é positivo). Logo, para cada plano horizontal y=k com k\neq 0 a seção é uma elipse; para k=0 só temos o vértice.

Passo 4

Outra maneira didática (mais direta) — normalizar por y^{2} quando y\neq 0. Para pontos com y\neq 0 podemos dividir a equação por y^{2} e definir u=\dfrac{x}{y} e v=\dfrac{z}{y}. Fazendo isso:
9\left(\frac{x}{y}\right)^{2}+3\left(\frac{z}{y}\right)^{2}=8
ou seja
9u^{2}+3v^{2}=8.
Isso é a equação de uma elipse no plano (u,v). Geometricamente, cada direção (u,v) que satisfaz essa elipse determina uma reta através da origem dada por (x,y,z) = t(u,1,v) (com t=y). Como existem soluções com y>0 e com y<0, obtemos duas nappes (o “cone duplo”).

Passo 5

Concluir a forma do cone e o eixo:
  • A presença de uma elipse fixa quando normalizamos por y mostra que as geratrizes formam um feixe cujo “perfil” transversal é elíptico. Portanto a superfície é um cone elíptico (não circular, porque os coeficientes de x^{2} e z^{2} são diferentes).
  • O eixo do cone é a direção em que as seções transversais permanecem centradas — aqui é o eixo y, pois fixamos y=k e as seções em x,z são elipses centradas em (0,0,k). O vértice é a origem (0,0,0).

Passo 6

Exemplo concreto para visualizar: seção em y=1. Substituindo y=1 obtemos
9x^{2}+3z^{2}=8.
Dividindo por 8
\frac{x^{2}}{8/9}+\frac{z^{2}}{8/3}=1,
que é explicitamente uma elipse com semieixos \sqrt{8/9} na direção x e \sqrt{8/3} na direção z. Para y=-1 obtemos a mesma elipse; para cada y\neq 0 a elipse é escalada proporcionalmente a |y|.

Resposta

Cone duplo elíptico (cone quadrático de vértice em (0,0,0)), com eixo ao longo do eixo y.

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