Identifique as superfícies abaixo:
Passo 1
Enunciado: identificar a superfície dada pela equação
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- É uma equação quadrática homogênea (todos os termos são de grau
e não há termos lineares nem constantes). - A origem
satisfaz a equação. - Não há informações extras (como deslocamento ou termos mistos) além dos coeficientes dos quadrados.
Passo 2
Observação importante sobre formas homogêneas: se uma equação quadrática homogênea satisfaz
então, para qualquer
, se
é solução,
também é solução (porque cada termo escala por
). Isso significa geometricamente que a superfície é formada por retas passando pela origem — ou seja, é uma superfície cônica (tem vértice na origem). Vou usar essa ideia para mostrar que a dada é mesmo um cone duplo.
Passo 3
Estudo das seções por planos
. Fixe
.
Se
, a equação vira
o que implica
e
. Portanto a interseção com o plano
é apenas o ponto
— o vértice do cone.
Se
, substituindo
obtemos
Essa é a equação de uma elipse no plano
(porque os coeficientes de
e
são positivos e o lado direito é positivo). Logo, para cada plano horizontal
com
a seção é uma elipse; para
só temos o vértice.
Passo 4
Outra maneira didática (mais direta) — normalizar por
quando
. Para pontos com
podemos dividir a equação por
e definir
e
. Fazendo isso:
ou seja
Isso é a equação de uma elipse no plano
. Geometricamente, cada direção
que satisfaz essa elipse determina uma reta através da origem dada por
(com
). Como existem soluções com
e com
, obtemos duas nappes (o “cone duplo”).
Passo 5
Concluir a forma do cone e o eixo:
- A presença de uma elipse fixa quando normalizamos por
mostra que as geratrizes formam um feixe cujo “perfil” transversal é elíptico. Portanto a superfície é um cone elíptico (não circular, porque os coeficientes de e são diferentes). - O eixo do cone é a direção em que as seções transversais permanecem centradas — aqui é o eixo
, pois fixamos e as seções em são elipses centradas em . O vértice é a origem .
Passo 6
Exemplo concreto para visualizar: seção em
. Substituindo
obtemos
Dividindo por
dá
que é explicitamente uma elipse com semieixos
na direção
e
na direção
. Para
obtemos a mesma elipse; para cada
a elipse é escalada proporcionalmente a
.
Resposta
Cone duplo elíptico (cone quadrático de vértice em
), com eixo ao longo do eixo
.