Identifique as superficies com a parametrização para elas dada por:
\varphi(u, v)=(u, u \cdot \cos v, u \cdot \operatorname{sen} v)

Passo 1

O enunciado nos dá a parametrização
\varphi(u,v) = \bigl(u,\;u\cos v,\;u\sin v\bigr)
e pede para identificar a superfície correspondente. Vamos usar a eliminação dos parâmetros para chegar à equação implícita da superfície.

Passo 2

Da parametrização extraímos as coordenadas
x = u,\quad y = u\cos v,\quad z = u\sin v.

Passo 3

Aplicando a identidade trigonométrica \cos^2v + \sin^2v = 1 às expressões de y e z, obtemos
y^2 + z^2 = \bigl(u\cos v\bigr)^2 + \bigl(u\sin v\bigr)^2 = u^2\bigl(\cos^2v + \sin^2v\bigr) = u^2.

Passo 4

Como também x = u, temos u^2 = x^2. Substituindo em y^2+z^2 = u^2, chega­mos à equação implícita
y^2 + z^2 = x^2.

Passo 5

A equação \,y^2 + z^2 = x^2 descreve um cone circular reto com vértice na origem e eixo ao longo do eixo x. Se o parâmetro u for restrito a u\ge0, corresponde à parte frontal (nappe positiva) do cone; se u\le0, à parte traseira (nappe negativa); sem restrição em u, é o cone duplo.

Resposta

A superfície é o cone circular reto dado por
y^2 + z^2 = x^2.

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