Questão 16. Sabendo que u e v são raízes de x^{2}+b x+c=0, encontre a equação do segundo grau cujas raízes são u^{5} e v^{5}

Passo 1

O enunciado dá a equação de segundo grau
x^{2}+b\,x+c=0
cujoas raízes são u e v. Queremos a equação de segundo grau cujas raízes são u^{5} e v^{5}. O conteúdo usado será soma e produto de raízes e as identidades de Newton para potências.

Passo 2

Das relações clássicas de soma e produto de raízes temos
u+v=-b, \quad uv=c.
A nova equação com raízes u^{5} e v^{5} deve ter forma
x^{2}-(u^{5}+v^{5})\,x+(u^{5}v^{5})=0.
Chamando
S = u^{5}+v^{5}, \quad P = u^{5}v^{5},
já vemos que
P = (uv)^{5} = c^{5}.

Passo 3

Para achar S=u^{5}+v^{5}, aplicamos as identidades de Newton passo a passo:
u^{2}+v^{2}=(u+v)^{2}-2\,uv = (-b)^{2}-2c = b^{2}-2c,
u^{3}+v^{3}=(u+v)(u^{2}+v^{2})-uv\,(u+v) =(-b)(b^{2}-2c)-c(-b) =-b^{3}+3b\,c,
u^{4}+v^{4}=(u+v)(u^{3}+v^{3})-uv\,(u^{2}+v^{2}) =(-b)(-b^{3}+3b\,c)-c(b^{2}-2c) =b^{4}-4b^{2}c+2c^{2}.

Passo 4

Agora a quinta potência:
u^{5}+v^{5}=(u+v)(u^{4}+v^{4})-uv\,(u^{3}+v^{3}) =(-b)(b^{4}-4b^{2}c+2c^{2})-c(-b^{3}+3b\,c) =-b^{5}+5b^{3}c-5b\,c^{2}.
Logo
S = -b^{5}+5b^{3}c-5b\,c^{2}.

Passo 5

Substituindo S e P na forma geral \,x^{2}-Sx+P=0, vem
x^{2}-\bigl(-b^{5}+5b^{3}c-5b\,c^{2}\bigr)\,x+c^{5}=0
que se simplifica para
x^{2}+\bigl(b^{5}-5b^{3}c+5b\,c^{2}\bigr)\,x+c^{5}=0.

Resposta

x^{2}+\bigl(b^{5}-5b^{3}c+5b\,c^{2}\bigr)\,x+c^{5}=0

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