Identifique o tipo do sistema:
\begin{cases}3 x+2 y=6 & \\\\ 6 x+4 y=12 & \text { Resolução: } \rightarrow \text { SPI (infinitas soluções) }\end{cases}çãçõ

Passo 1

O enunciado apresenta o sistema linear de duas equações e duas incógnitas
\begin{cases} 3x + 2y = 6,\\\\ 6x + 4y = 12, \end{cases}
e pede para identificar seu tipo (se tem solução única, nenhuma solução ou infinitas soluções). Para isso, vamos usar a teoria de sistemas lineares 2\times 2, analisando o determinante da matriz dos coeficientes e, quando este for zero, checando a consistência por meio das razões dos coeficientes e dos termos independentes.

Passo 2

Formamos a matriz dos coeficientes
A = \begin{pmatrix}3 & 2 \\\\ 6 & 4\end{pmatrix}
e calculamos o determinante:
\det A = \begin{vmatrix}3 & 2 \\\\ 6 & 4\end{vmatrix} = 3\cdot4 - 6\cdot2 = 12 - 12 = 0.
Como \det A = 0, o sistema pode ser ou impossível (se for inconsistente) ou indeterminado (se for consistente).

Passo 3

Para verificar a consistência, comparamos as razões dos coeficientes de x, de y e dos termos independentes nas duas equações:
\frac{6}{3} = 2,\quad \frac{4}{2} = 2,\quad \frac{12}{6} = 2.
Todas as razões coincidem, o que significa que a segunda equação é exatamente o dobro da primeira, inclusive no termo independente. Logo, as equações são equivalentes e o sistema é consistente.

Resposta

O sistema é possível e indeterminado (SPI), ou seja, possui infinitas soluções.

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