Identifique o tipo do sistema:
\left\{\begin{array}{cl} x+2 y=5 & \\\\ 2 x+4 y=10 & \text { Resolução: } \rightarrow \text { SPI (infinitas soluções) } \end{array}\right.çãçõ

Passo 1

O enunciado apresenta um sistema linear de duas equações e duas incógnitas:
\begin{cases} x + 2y = 5,\\\\ 2x + 4y = 10. \end{cases}
O conteúdo aqui é a classificação de sistemas lineares: queremos saber se ele é possível e determinado (SPD), possível e indeterminado (SPI) ou impossível (SI). Para isso, vamos comparar as equações entre si.

Passo 2

Vamos montar a matriz dos coeficientes A e a matriz aumentada (A|\mathbf b):
A = \begin{pmatrix} 1 & 2\\\\ 2 & 4 \end{pmatrix}, \quad (A|\mathbf b) = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 5\\\\ 2 & 4 & 10 \end{pmatrix}.

Passo 3

Analisamos os determinantes ou as proporções de cada coluna:
– Para os coeficientes de x: \frac{1}{2}.
– Para os coeficientes de y: \frac{2}{4}.
– Para os termos independentes: \frac{5}{10}.
Como
\frac{1}{2} \;=\;\frac{2}{4}\;=\;\frac{5}{10},
todas as razões coincidem. Isso significa que a segunda equação é múltiplo da primeira, logo as duas são dependentes.

Passo 4

Quando as equações são todas proporcionais, o posto da matriz de coeficientes é igual ao posto da matriz aumentada (ambos valem 1), mas é menor que o número de incógnitas (2). Portanto o sistema é possível e indeterminado, ou seja, tem infinitas soluções.

Resposta

O sistema é SPI (Sistema Possível e Indeterminado) – infinitas soluções.

Exercícios relacionados