(2,0 pontos) Considere um consumidor cujas preferências sobre cestas de bens
\left(x_{1}, x_{2}\right) \in \mathbb{R}_{++}^{2} podem ser representadas pela função utilidade
u\left(x_{1}, x_{2}\right)=\ln x_{1}+\ln x_{2}. Esse consumidor possui renda
m>0 e se depara com os preços
p_{1}, p_{2}>0. O problema de maximização de utilidade do consumidor é o seguinte:
\max _{x_{1}, x_{2}} u\left(x_{1}, x_{2}\right)=\ln x_{1}+\ln x_{2}
sujeito a:
p_{1} x_{1}+p_{2} x_{2} \leq m .
(a) (1,0 ponto) Usando o método de Lagrange, encontre as funções demanda,
x_{1}^{*}\left(p_{1}, p_{2}, m\right) e
x_{2}^{*}\left(p_{1}, p_{2}, m\right), como solução das condições de primeira ordem do problema de maximização de utilidade do consumidor.
(b) ( 0,5 ponto) Encontre a função utilidade indireta do consumidor (função valor).
(c) (0,5 ponto) Calcule a utilidade marginal da renda. Qual a sua relação com o multiplicador de Lagrange associado à restrição orçamentária? Mostre.