Identify the horizontal asymptotes of each function.
f(x)=(3 x+1)(x-4)(5 x+1)^2

Passo 1

O enunciado pede as assíntotas horizontais de
f(x)=(3x+1)(x-4)(5x+1)^2
Isso é uma função racional cujo grau do numerador e do denominador é igual (ambos são 2). Para esse caso, a assíntota horizontal é dada pela razão dos coeficientes dos termos de maior grau.

Passo 2

Expandindo apenas os termos de maior grau:
(3x+1)(x-4)=3x^2+dots
(5x+1)^2=25x^2+dots
Assim, para |x|toinfty,
f(x)sim3x^225x^2=325

Passo 3

Devemos verificar que tanto
limxto+inftyf(x)=325
quanto
limxto-inftyf(x)=325,
logo há uma única assíntota horizontal.

Resposta

A assíntota horizontal é
y=325

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