Identify the horizontal asymptotes of each function.
f(x)=(4 x+3)(6-3 x)(3 x-4)^2

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=(4x+3)(6-3x)(3x-4)^2
e pede para identificar as assíntotas horizontais. O conteúdo aqui é cálculo de limites nos extremos do domínio ( xtopminfty) para ver se existe algum valor finito que f(x) se aproxima.

Passo 2

Para facilitar, vamos expandir numerador e denominador e identificar os termos de maior grau.
(4x+3)(6-3x) = -12x^2+15x+18
(3x-4)^2 = 9x^2-24x+16
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f(x)=-12x^2+15x+189x^2-24x+16

Passo 3

Para xto+infty, os termos dominantes são os de grau 2. Então
limxto+inftyf(x) =limxto+infty-12x^2+15x+189x^2-24x+16 =-129 =-43

Passo 4

Para xto-infty, o comportamento dos termos de grau 2 também domina e o sinal de x^2 é positivo tanto para +infty quanto para -infty. Assim
limxto-inftyf(x) =-129 =-43

Resposta

A única assíntota horizontal é
y=-43

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