Identify the horizontal asymptotes of each function.
f(x)=raiz9 x^6+2 x^2+xx^3+9 x^2

Passo 1

O enunciado pede as assíntotas horizontais de
f(x)=raiz9x^6+2x^2+xx^3+9x^2
Para isso vamos calcular
limxto+inftyf(x)
e
limxto-inftyf(x),
pois cada limite, se existir finito, dá uma assíntota do tipo y=L.

Passo 2

Analisamos o termo dominante no numerador e no denominador para xtopminfty. No numerador:
raiz9x^6+2x^2+x =raizx^6l(9+tfrac2x^4+tfrac1x^5r) =|x^3|;raiz9+tfrac2x^4+tfrac1x^5 sim 3,|x^3|
No denominador o termo dominante é x^3 (pois x^3+9x^2=x^3(1+9/x)sim x^3).

Passo 3

Para xto+infty temos |x^3|=x^3, logo
f(x)sim3x^3x^3=3,
isto é,
limxto+inftyf(x)=3

Passo 4

Para xto-infty temos |x^3|=-x^3, pois x^3<0. Então
f(x)sim3(-x^3)x^3=-3,
isto é,
limxto-inftyf(x)=-3

Resposta

As assíntotas horizontais são
y=3 e y=-3.

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