Exercício 1. Encontre a solução geral das EDOs abaixo utilizando série de potências.
y^prime prime-4 x y^prime+(4 x^2-2) y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver, por série de potências, a EDO
y''-4xy'+(4x^2-2)y=0
O conteúdo é o método de série de potências: vamos assumir uma solução
y=sumn=0^infty anx^n, obter recursão para an e, por fim, reconhecer a série.

Passo 2

Assumindo
y=sumn=0^infty anx^n, y'=sumn=1^infty n,anx^n-1, y''=sumn=2^infty n(n-1),anx^n-2,
substituímos na equação original.

Passo 3

Depois de realinhar todos para potências x^n, obtemos
sumn=0^inftyl[(n+2)(n+1)an+2-4n,an-2an+4an-2r]x^n=0
Como todos os coeficientes devem anular, a relação de recorrência é
(n+2)(n+1),an+2=(4n+2),an-4,an-2

Passo 4

Para os primeiros valores:
  • n=0 2a2-2a0=0implies a2=a0.
  • n=1 6a3-6a1=0implies a3=a1.
    Em cada dois passos (pares e ímpares) teremos padrões separados para a2k e a2k+1.

Passo 5

Usando indução na recorrência mostra-se que
a2k=a0k!, a2k+1=a1k!
Logo a série de potência é
y =a0sumk=0^inftyx^2kk! +a1sumk=0^inftyx^2k+1k!

Passo 6

Reconhecendo séries de Taylor:
sumk=0^inftyx^2kk!=e^x^2, sumk=0^inftyx^2k+1k!=x,e^x^2,
temos a solução geral
y=C1,e^x^2+C2,x,e^x^2=(C1+C2x),e^x^2

Resposta

y(x)=(C1+C2x),e^x^2

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