Exercício 1. Encontre a solução geral das EDOs abaixo utilizando série de potências.
Passo 1
O enunciado pede para resolver, por série de potências, a EDO
O conteúdo é o método de série de potências: vamos assumir uma solução
, obter recursão para
e, por fim, reconhecer a série.
Passo 2
Assumindo
substituímos na equação original.
Passo 3
Depois de realinhar todos para potências
, obtemos
Como todos os coeficientes devem anular, a relação de recorrência é
Passo 4
Para os primeiros valores:
-
dá . -
dá .
Em cada dois passos (pares e ímpares) teremos padrões separados parae .
Passo 5
Usando indução na recorrência mostra-se que
Logo a série de potência é
Passo 6
Reconhecendo séries de Taylor:
temos a solução geral