4)\left{ l y^prime prime+5 y^prime+6 y=12 e^x y(0)=1 y^prime(0)=-1 \right.

Passo 1

O enunciado nos dá um problema de valor inicial para a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não-homogêneo
y'' + 5y' + 6y = 12e^x,
com condições iniciais y(0)=1 e y'(0)=-1. Para resolver, vamos (1) achar a solução geral da equação homogênea associada, (2) encontrar uma solução particular para o termo 12e^x pelo método dos coeficientes a determinar e (3) ajustar as constantes usando as condições iniciais.

Passo 2

Primeiro resolvemos a equação homogênea
y'' + 5y' + 6y = 0
A equação característica é
r^2 + 5r + 6 = 0,
cujos radicais são r=-2 e r=-3. Logo a solução geral homogênea é
yh(x) = C1e^-2x + C2e^-3x

Passo 3

Para achar uma solução particular yp ao termo 12e^x, fazemos o palpite
yp(x) = A e^x
Substituindo em y''+5y'+6y obtemos
yp'' + 5yp' + 6yp = (1 + 5 + 6),A e^x = 12A,e^x
que deve ser igual a 12e^x. Assim
12A = 12 Longrightarrow A = 1,
e
yp(x) = e^x

Passo 4

A solução geral da equação não-homogênea é
y(x) = yh(x) + yp(x) = C1e^-2x + C2e^-3x + e^x
Agora impomos as condições iniciais. Primeiro
y(0) = C1 + C2 + 1 = 1 Longrightarrow C1 + C2 = 0
Em seguida calculamos y'(x):
y'(x) = -2C1e^-2x - 3C2e^-3x + e^x,
logo
y'(0) = -2C1 - 3C2 + 1 = -1 Longrightarrow -2C1 - 3C2 = -2

Passo 5

Resolvendo o sistema
C1 + C2 = 0, -2C1 - 3C2 = -2,
da primeira equação vem C1 = -C2. Substituindo na segunda:
-2(-C2) - 3C2 = -2 ;Longrightarrow; 2C2 - 3C2 = -2 ;Longrightarrow; -C2 = -2 ;Longrightarrow; C2 = 2,
e então C1 = -2.

Resposta

boxedy(x) = -2e^-2x + 2e^-3x + e^x

Exercícios relacionados