Identify the type of conic section whose equation is given and find the vertices and foci.
29. y^2+2 y=4 x^2+3

Passo 1

O enunciado dá a equação
y^2+2y = 4x^2+3
Trata-se de uma cônica geral de segunda ordem em x e y. Para identificar o tipo de cônica e achar vértices e focos, vamos completar o quadrado em y e passar para a forma canônica.

Passo 2

Reescrevendo tudo de um lado e completando o quadrado em y:
y^2+2y -4x^2-3 = 0
Adicionamos e subtraímos 1 para fechar o quadrado em y:
y^2+2y+1 ;-;4x^2;-;3;-;1 ;=;0
Logo
(y+1)^2 ;-;4x^2;-;4 ;=;0

Passo 3

Isolando e dividindo por 4, obtemos a forma padrão
(y+1)^24;-;x^21;=;1
Isso mostra que é uma hipérbole com centro em (0,-1), eixo transverso vertical, a^2=4 e b^2=1.

Passo 4

Os vértices de uma hipérbole vertical
(y+1)^2a^2 - (x-0)^2b^2 = 1
ficam a uma distância a do centro ao longo do eixo y. Como a=raiz4=2, os vértices são
(0,-1+2)=(0,1), (0,-1-2)=(0,-3)

Passo 5

Os focos de uma hipérbole vertical satisfazem
c^2 = a^2 + b^2 = 4 + 1 = 5,
logo c=raiz5. Assim, os focos são
l(0,,-1+raiz5r), l(0,,-1-raiz5r)

Resposta

A cônica é uma hipérbole com centro em (0,-1), eixo transverso vertical, vértices em (0,1) e (0,-3), e focos em l(0,-1+raiz5r) e l(0,-1-raiz5r).

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