Identify the type of conic section whose equation is given and find the vertices and foci.
29.
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Passo 1
O enunciado dá a equação
Trata-se de uma cônica geral de segunda ordem em
e
. Para identificar o tipo de cônica e achar vértices e focos, vamos completar o quadrado em
e passar para a forma canônica.
Passo 2
Reescrevendo tudo de um lado e completando o quadrado em
:
Adicionamos e subtraímos
para fechar o quadrado em
:
Logo
Passo 3
Isolando e dividindo por
, obtemos a forma padrão
Isso mostra que é uma hipérbole com centro em
, eixo transverso vertical,
e
.
Passo 4
Os vértices de uma hipérbole vertical
ficam a uma distância
do centro ao longo do eixo
. Como
, os vértices são
Passo 5
Os focos de uma hipérbole vertical satisfazem
logo
. Assim, os focos são
Resposta
A cônica é uma hipérbole com centro em
, eixo transverso vertical, vértices em
e
, e focos em
e
.