Encontre a solução geral das EDOs:
4 x^2 y^prime prime+5 y=0

Passo 1

O enunciado dá a EDO
4,x^2,y'' + 5,y = 0
que é um caso de equação de Euler–Cauchy (coefs. proporcionais a potências de x), sem termo em y'. Para resolver, vamos supor uma solução do tipo y=x^m.

Passo 2

Se y=x^m, então
y' = m,x^m-1, y'' = m(m-1),x^m-2

Passo 3

Substituindo em
4,x^2,y'' + 5,y = 0
vem
4,x^2l[m(m-1),x^m-2r] + 5,x^m = 0 ;Longrightarrow; l[4,m(m-1) + 5r],x^m = 0
Como x^mneq0, obtemos a equação característica
4,m(m-1) + 5 = 0 ;Longrightarrow; 4m^2 - 4m + 5 = 0

Passo 4

Resolvendo
4m^2 -4m +5 = 0
usando a fórmula de Bhaskara, o discriminante é
De<a = (-4)^2 - 4cdot4cdot5 = 16 - 80 = -64,
logo
m = 4 pm raiz-648 = 4 pm 8,i8 = 12 pm i

Passo 5

Para raízes complexas m=alphapm ibeta (aqui alpha=tfrac12, beta=1), a forma geral da solução real é
y(x) = x^alphal[C1cos(betaln|x|) + C2sin(betaln|x|)r]

Resposta

boxedy(x)=x^tfrac12l(C1cos(ln|x|)+C2sin(ln|x|)r),
onde C1,C2 são constantes arbitrárias.

Exercícios relacionados