Resolva.
(f)
d xd t=x+sin t

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
dxdt = x + sin t
O conteúdo é resolução de EDO linear não-homogênea de 1º ordem. Vamos colocar na forma padrão
dxdt - x = sin t
e usar fator integrante.

Passo 2

Identificamos p(t)=-1 na forma
dxdt + p(t),x = q(t)
e calculamos o fator integrante
mu(t) = e^integral p(t),dt = e^integral -1,dt = e^-t

Passo 3

Multiplicamos a equação padrão por mu(t)=e^-t, obtendo
e^-tdxdt - e^-tx = e^-tsin t
O lado esquerdo é a derivada do produto x e^-t:
ddtl(x e^-tr) = e^-tsin t

Passo 4

Integramos ambos os lados em t:
x e^-t = integral e^-tsin t,dt + C
Para calcular integral e^-tsin t,dt, usamos o resultado padrão
integral e^atsin(bt),dt = e^ata^2+b^2l(asin(bt)-bcos(bt)r)+K,
com a=-1, b=1. Assim
integral e^-tsin t,dt = e^-t(-1)^2+1^2l(-1cdotsin t -1cdotcos tr) = -e^-t2l(sin t + cos tr)+K

Passo 5

Portanto
x e^-t = -e^-t2l(sin t + cos tr) + C
e multiplicando por e^t encontramos a solução geral
x(t) = C e^t - sin t + cos t2

Resposta

x(t) = C e^t - tfracsin t + cos t2

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