If
is a projective collineation, prove that the restriction of
to one line
is a projectivity. Prove also that every projectivity arises in this way.
Passo 1
O enunciado dá uma colinearidade projetiva
(uma collineação projetiva) e pede duas coisas claras:
- Mostrar que, para qualquer reta
, a restrição de a (isto é, a aplicação ) é uma projetividade entre retas. - Mostrar o recíproco: dada qualquer projetividade entre duas retas existe uma collineação projetiva do plano que a estende (ou seja, toda projetividade “vem” como restrição de alguma collineação).
Informações relevantes fornecidas:
-
é uma collineação projetiva (isto significa que é uma bijeção do plano projetivo que preserva incidência e é induzida por um isomorfismo linear do espaço vetorial subjacente). -
é uma reta arbitrária do plano projetivo.
Não há outras hipóteses ocultas no enunciado.
Passo 2
Definições e notação úteis (rápido lembrete para não pular passos).
- Trabalhamos no plano projetivo
associado a um espaço vetorial de dimensão sobre um corpo . Pontos do plano projetivo são classes de equivalência de vetores não nulos , escritas . - Uma reta
corresponde a um subespaço linear de dimensão , e seus pontos são . - Uma collineação projetiva
é induzida por um isomorfismo linear invertível , pelo tipo de fórmula
- Uma projetividade entre retas é uma bijeção entre
e que é induzida por um isomorfismo linear entre os respectivos subespaços de dimensão . Equivalentemente, é uma aplicação que preserva razão dupla (cross-ratio) de quatro pontos da reta.
Essas noções são padrão; vou usar explicitamente a descrição por mapas lineares entre subespaços.
Passo 3
Provar que a restrição de
a uma reta
é uma projetividade.
- Seja
a reta correspondente ao subespaço de dimensão . Como é induzida pelo isomorfismo linear invertível , a imagem do subespaço por é outro subespaço de dimensão , , que corresponde à reta . - Considere a restrição linear
Como
é invertível,
. Se
e
então
, logo
tem núcleo trivial e é um isomorfismo linear entre espaços de dimensão
. Portanto
é um isomorfismo linear
.
- A aplicação induzida em projetivos
é exatamente a restrição
.
- Conclusão:
é induzida por um isomorfismo linear entre subespaços de dimensão , portanto é uma projetividade (preserva razão dupla e é bijetora). Isso prova a primeira afirmação.
Passo 4
Preparação para o recíproco: como estender uma projetividade entre retas para uma collineação do plano.
- Seja dada uma projetividade
entre duas retas do plano projetivo. Escreve-se e com subespaços de dimensão . - Por hipótese
é induzida por algum isomorfismo linear : isto é,
(Na teoria, projetividades entre retas correspondem exatamente a isomorfismos lineares entre as 2-subespaços que as representam.)
- O objetivo é construir um isomorfismo linear
que estenda , isto é, tal que . Então a collineação induzida por estenderá .
Passo 5
Construção explícita de uma extensão linear
que estenda
.
- Escolha uma base
de . Escolha um vetor tal que seja base de (isto é, não pertence a , assim ). - Em
escolha uma base tal que para (isto é possível porque é linear e isomorfismo; basta definir ). - Agora escolha um vetor
de modo que seja base de . É sempre possível escolher tal porque são independentes e podemos completar para uma base. - Defina uma aplicação linear
pela imagem da base:
- Por definição
é linear e transforma uma base em outra, logo é um isomorfismo linear invertível de . - Além disso, para
escrito em coordenadas na base , a ação de coincide com porque para . Logo . - Portanto
estende .
Passo 6
Concluir que a construção fornece a collineação projetiva desejada.
- A collineação projetiva
induzida por (ou seja ) satisfaz, para ,
- Assim
restringe-se a sobre : . Em outras palavras, é a restrição de uma collineação projetiva do plano. - Observação adicional: a extensão não é única (a escolha de
ou imagem de um vetor que complementa pode variar), mas a existência é tudo o que o enunciado pede.
Passo 7
Resumo e observações finais didáticas (como usar isso na prova).
- Para mostrar que a restrição de uma collineação é projetividade, basta passar ao representante linear
e notar que a restrição em um subespaço de dimensão é um isomorfismo linear; o mapa projetivo inducedo é então uma projetividade. - Para estender uma projetividade de uma reta, escolha bases para o subespaço da reta e para a imagem, complemente para bases do espaço todo e defina um isomorfismo linear enviando uma base na outra. A collineação associada estende a projetividade.
- Em provas escritas: normalmente escreva explicitamente as bases, mostre que
é invertível (mapeia base em base) e verifique que para vetores do subespaço da reta a ação coincide com a projetividade dada.
Resposta
A restrição de uma collineação projetiva
a uma reta
é uma projetividade entre
e
.
Toda projetividade entre duas retas
e
do plano projetivo pode ser estendida a uma collineação projetiva do plano (ou seja, surge como restrição de alguma collineação).