If T is a projective collineation, prove that the restriction of T to one line \ell is a projectivity. Prove also that every projectivity arises in this way.

Passo 1

O enunciado dá uma colinearidade projetiva T (uma collineação projetiva) e pede duas coisas claras:
  • Mostrar que, para qualquer reta \ell, a restrição de T a \ell (isto é, a aplicação T|_{\ell}:\ell\to T(\ell)) é uma projetividade entre retas.
  • Mostrar o recíproco: dada qualquer projetividade entre duas retas existe uma collineação projetiva do plano que a estende (ou seja, toda projetividade “vem” como restrição de alguma collineação).
Informações relevantes fornecidas:
  • T é uma collineação projetiva (isto significa que T é uma bijeção do plano projetivo que preserva incidência e é induzida por um isomorfismo linear do espaço vetorial subjacente).
  • \ell é uma reta arbitrária do plano projetivo.
    Não há outras hipóteses ocultas no enunciado.

Passo 2

Definições e notação úteis (rápido lembrete para não pular passos).
  • Trabalhamos no plano projetivo \mathbb{P}(V) associado a um espaço vetorial V de dimensão 3 sobre um corpo \Bbb K. Pontos do plano projetivo são classes de equivalência de vetores não nulos v\in V, escritas [v].
  • Uma reta \ell corresponde a um subespaço linear U\subset V de dimensão 2, e seus pontos são \mathbb{P}(U)=\{[u]:u\in U\setminus\{0\}\}.
  • Uma collineação projetiva T:\mathbb{P}(V)\to\mathbb{P}(V) é induzida por um isomorfismo linear invertível F:V\to V, pelo tipo de fórmula
T([v])=[F(v)]\qquad\text{para todo }v\neq0.
  • Uma projetividade entre retas é uma bijeção entre \mathbb{P}(U) e \mathbb{P}(W) que é induzida por um isomorfismo linear u:U\to W entre os respectivos subespaços de dimensão 2. Equivalentemente, é uma aplicação que preserva razão dupla (cross-ratio) de quatro pontos da reta.
Essas noções são padrão; vou usar explicitamente a descrição por mapas lineares entre subespaços.

Passo 3

Provar que a restrição de T a uma reta \ell é uma projetividade.
  • Seja \ell a reta correspondente ao subespaço U\subset V de dimensão 2. Como T é induzida pelo isomorfismo linear invertível F:V\to V, a imagem do subespaço U por F é outro subespaço de dimensão 2, F(U), que corresponde à reta T(\ell).
  • Considere a restrição linear
F|_{U}:U\to F(U).
Como F é invertível, \ker(F)\!=\!\{0\}. Se u\in U e F(u)=0 então u=0, logo F|_{U} tem núcleo trivial e é um isomorfismo linear entre espaços de dimensão 2. Portanto F|_{U} é um isomorfismo linear U\cong F(U).
  • A aplicação induzida em projetivos
\widetilde{F|_{U}}:\mathbb{P}(U)\to\mathbb{P}(F(U)),\qquad \widetilde{F|_{U}}([u])=[F(u)]
é exatamente a restrição T|_{\ell}:\ell\to T(\ell).
  • Conclusão: T|_{\ell} é induzida por um isomorfismo linear entre subespaços de dimensão 2, portanto é uma projetividade (preserva razão dupla e é bijetora). Isso prova a primeira afirmação.

Passo 4

Preparação para o recíproco: como estender uma projetividade entre retas para uma collineação do plano.
  • Seja dada uma projetividade p:\ell\to m entre duas retas \ell,\\ m do plano projetivo. Escreve-se \ell=\mathbb{P}(U) e m=\mathbb{P}(W) com U,W\subset V subespaços de dimensão 2.
  • Por hipótese p é induzida por algum isomorfismo linear u:U\to W: isto é,
p([u'])=[u(u')]\quad\text{para todo }u'\in U\setminus\{0\}.
(Na teoria, projetividades entre retas correspondem exatamente a isomorfismos lineares entre as 2-subespaços que as representam.)
  • O objetivo é construir um isomorfismo linear F:V\to V que estenda u, isto é, tal que F|_{U}=u. Então a collineação induzida por F estenderá p.

Passo 5

Construção explícita de uma extensão linear F:V\to V que estenda u.
  • Escolha uma base \{e_1,e_2\} de U. Escolha um vetor e_3\in V tal que \{e_1,e_2,e_3\} seja base de V (isto é, e_3 não pertence a U, assim V=U\oplus\langle e_3\rangle).
  • Em W escolha uma base \{f_1,f_2\} tal que u(e_i)=f_i para i=1,2 (isto é possível porque u é linear e isomorfismo; basta definir f_i:=u(e_i)).
  • Agora escolha um vetor f_3\in V de modo que \{f_1,f_2,f_3\} seja base de V. É sempre possível escolher tal f_3 porque f_1,f_2 são independentes e podemos completar para uma base.
  • Defina uma aplicação linear F:V\to V pela imagem da base:
F(e_1):=f_1,\qquad F(e_2):=f_2,\qquad F(e_3):=f_3.
  • Por definição F é linear e transforma uma base em outra, logo F é um isomorfismo linear invertível de V.
  • Além disso, para u'\in U escrito em coordenadas na base \{e_1,e_2\}, a ação de F coincide com u porque F(e_i)=u(e_i) para i=1,2. Logo F|_{U}=u.
  • Portanto F estende u.

Passo 6

Concluir que a construção fornece a collineação projetiva desejada.
  • A collineação projetiva T_F:\mathbb{P}(V)\to\mathbb{P}(V) induzida por F (ou seja T_F([v])=[F(v)]) satisfaz, para x\in\ell=\mathbb{P}(U),
T_F(x)=T_F([u'])=[F(u')]=[u(u')]=p([u'])=p(x).
  • Assim T_F restringe-se a p sobre \ell: T_F|_{\ell}=p. Em outras palavras, p é a restrição de uma collineação projetiva do plano.
  • Observação adicional: a extensão não é única (a escolha de f_3 ou imagem de um vetor que complementa U pode variar), mas a existência é tudo o que o enunciado pede.

Passo 7

Resumo e observações finais didáticas (como usar isso na prova).
  • Para mostrar que a restrição de uma collineação é projetividade, basta passar ao representante linear F e notar que a restrição F|_{U} em um subespaço de dimensão 2 é um isomorfismo linear; o mapa projetivo inducedo é então uma projetividade.
  • Para estender uma projetividade de uma reta, escolha bases para o subespaço da reta e para a imagem, complemente para bases do espaço todo e defina um isomorfismo linear enviando uma base na outra. A collineação associada estende a projetividade.
  • Em provas escritas: normalmente escreva explicitamente as bases, mostre que F é invertível (mapeia base em base) e verifique que para vetores do subespaço da reta a ação coincide com a projetividade dada.

Resposta

A restrição de uma collineação projetiva T a uma reta \ell é uma projetividade entre \ell e T(\ell).
Toda projetividade entre duas retas \ell e m do plano projetivo pode ser estendida a uma collineação projetiva do plano (ou seja, surge como restrição de alguma collineação).

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