Let
, and
be four collinear points. Show that there is a unique projectivity that interchanges
and
and also interchanges
and
.
Passo 1
O que o problema pede e o que nos dá.
- Dados: quatro pontos
colineares (assumimos pontos distintos — o enunciado geralmente supõe isso). - Pedido: provar que existe uma única projectividade do conjunto de pontos da reta que troca
com (isto é, envia e ) e também troca com (isto é, envia e ).
Informações relevantes retiradas do enunciado:
- Os quatro pontos estão todos numa mesma reta.
- Queremos uma projectividade (isto é, um automorfismo da reta projetiva) que realize duas transposições disjuntas:
e .
Passo 2
Noções úteis e ferramentas que vamos usar (explicadas de forma didática).
- O que é uma projectividade numa reta projetiva? Depois de escolher uma coordenada projectiva (ou seja, identificar a reta com a reta projectiva
sobre o corpo subjacente), uma projectividade é dada por uma transformação de Möbius
com
. Essas transformações formam o grupo
e são exatamente as bijeções projectivas da reta.
-
Propriedade-chave (muito usada em provas de geometria projetiva): uma projectividade é determinada de forma única pelas imagens de três pontos distintos. Em palavras simples: se duas projectividades coincidem em três pontos distintos, elas coincidem em toda a reta. (Raciocínio: as transformações de Möbius têm 3 graus de liberdade; algebraicamente, a condição de fixar três abscissas dá um sistema que força a identidade.)
-
Forma simples de construir uma projectividade que troca
e : qualquer mapa
(envia
e
) é uma transformação de Möbius (com
).
Essas observações vão permitir construir explicitamente a projectividade pedida usando conjugação por uma mudança de coordenadas.
Passo 3
Construção explícita — existir.
- Primeiro, escolha uma projectividade (uma mudança de coordenadas)
que manda
Isto pode sempre ser feito: basta enviar dois pontos distintos para
e
e escolher arbitrariamente a imagem de um terceiro ponto para fixar a transformação; existe tal
porque as projectividades são 3-transitivas em triplas de pontos (ou simplesmente porque se identifica a reta com
e se escolhe uma base adequada).
-
Sob essa coordenatização, os pontos
e têm coordenadas afins que chamaremos e , (ou seja, e , com e em geral — se um deles for ou a construção abaixo adapta-se facilmente, veja nota ao final). Queremos agora uma transformação no modelo coordenado que troque e . -
Considere a transformação
Ela troca
e
sempre que
. Para obter também
e
é suficiente escolher
igual a
, porque então
Portanto a escolha
dá uma transformação
com exatamente as propriedades desejadas na coordenada: troca
e
, troca
e
.
- Volte à reta original conjugando
por . Defina a projectividade na reta original por
Verificações:
-
. -
. -
. -
.
Assim existe pelo menos uma projectividade
que troca
com
e
com
.
(Nota técnica: se na etapa de coordenatização
um dos pontos
ou
vier a ser
ou
, usa-se a mesma ideia com pequenas adaptações: por exemplo se
e
, escolher
funciona. Se algum ponto coincide, caso degenerado, o enunciado usualmente exclui coincidências.)
Passo 4
Unicidade — provar que não há outra projectividade com essas propriedades.
Suponha
seja outra projectividade que também troca
com
e
com
. Considere a composição
Então, para cada um dos pontos
temos
Portanto
fixa três pontos distintos
. Mas uma projectividade que fixa três pontos distintos é necessariamente a identidade (ver observação no Passo 2). Logo
é a identidade, isto é
, e portanto
. Assim a projectividade construída é única.
Passo 5
Resumo final — o porquê da estratégia.
- A ideia foi reduzir por conjugação ao caso simples em coordenadas onde
vira e vira . Nesse modelo, a fórmula simples já realiza a troca das duas pares desejadas. Conjugando de volta obtém-se a projectividade na reta original. - A unicidade vem do fato de que duas projectividades que coincidem em três pontos coincidem em toda a reta, e ao compor duas soluções obtém-se uma projectividade que fixa três pontos, logo é a identidade.
Resposta
There exists exactly one projectivity that interchanges
and
and also interchanges
and
.