Let A, B, C, and D be four collinear points. Show that there is a unique projectivity that interchanges A and B and also interchanges C and D.

Passo 1

O que o problema pede e o que nos dá.
  • Dados: quatro pontos A,B,C,D colineares (assumimos pontos distintos — o enunciado geralmente supõe isso).
  • Pedido: provar que existe uma única projectividade do conjunto de pontos da reta que troca A com B (isto é, envia A\mapsto B e B\mapsto A) e também troca C com D (isto é, envia C\mapsto D e D\mapsto C).
Informações relevantes retiradas do enunciado:
  • Os quatro pontos estão todos numa mesma reta.
  • Queremos uma projectividade (isto é, um automorfismo da reta projetiva) que realize duas transposições disjuntas: (A\\ B) e (C\\ D).

Passo 2

Noções úteis e ferramentas que vamos usar (explicadas de forma didática).
  • O que é uma projectividade numa reta projetiva? Depois de escolher uma coordenada projectiva (ou seja, identificar a reta com a reta projectiva \mathbb{P}^1 sobre o corpo subjacente), uma projectividade é dada por uma transformação de Möbius
z\longmapsto \frac{a z + b}{c z + d},
com ad-bc\neq 0. Essas transformações formam o grupo \mathrm{PGL}(2) e são exatamente as bijeções projectivas da reta.
  • Propriedade-chave (muito usada em provas de geometria projetiva): uma projectividade é determinada de forma única pelas imagens de três pontos distintos. Em palavras simples: se duas projectividades coincidem em três pontos distintos, elas coincidem em toda a reta. (Raciocínio: as transformações de Möbius têm 3 graus de liberdade; algebraicamente, a condição de fixar três abscissas dá um sistema que força a identidade.)
  • Forma simples de construir uma projectividade que troca 0 e \infty: qualquer mapa
z\longmapsto \frac{t}{z}
(envia 0\mapsto\infty e \infty\mapsto 0) é uma transformação de Möbius (com t\neq 0).
Essas observações vão permitir construir explicitamente a projectividade pedida usando conjugação por uma mudança de coordenadas.

Passo 3

Construção explícita — existir.
  1. Primeiro, escolha uma projectividade (uma mudança de coordenadas) \sigma que manda
A\longmapsto 0,\qquad B\longmapsto \infty.
Isto pode sempre ser feito: basta enviar dois pontos distintos para 0 e \infty e escolher arbitrariamente a imagem de um terceiro ponto para fixar a transformação; existe tal \sigma porque as projectividades são 3-transitivas em triplas de pontos (ou simplesmente porque se identifica a reta com \mathbb{P}^1 e se escolhe uma base adequada).
  1. Sob essa coordenatização, os pontos C e D têm coordenadas afins que chamaremos \,c e , d (ou seja, c=\sigma\text{(C)} e d=\sigma(D), com c\neq d e c,d\neq 0 em geral — se um deles for 0 ou \infty a construção abaixo adapta-se facilmente, veja nota ao final). Queremos agora uma transformação no modelo coordenado que troque 0\leftrightarrow\infty e c\leftrightarrow d.
  2. Considere a transformação
\tau: z\longmapsto \frac{t}{z}.
Ela troca 0 e \infty sempre que t\neq 0. Para obter também \tau\text{(c)}=d e \tau(d)=c é suficiente escolher t igual a c d, porque então
\tau\text{(c)}=\frac{cd}{c}=d,\qquad \tau(d)=\frac{cd}{d}=c.
Portanto a escolha t=cd dá uma transformação \tau(z)=\dfrac{cd}{z} com exatamente as propriedades desejadas na coordenada: troca 0 e \infty, troca c e d.
  1. Volte à reta original conjugando \tau por \sigma. Defina a projectividade na reta original por
f=\sigma^{-1}\circ \tau\circ \sigma.
Verificações:
  • f(A)=\sigma^{-1}(\tau(\sigma(A)))=\sigma^{-1}(\tau(0))=\sigma^{-1}(\infty)=B.
  • f(B)=\sigma^{-1}(\tau(\sigma(B)))=\sigma^{-1}(\tau(\infty))=\sigma^{-1}(0)=A.
  • f\text{(C)}=\sigma^{-1}(\tau(\sigma\text{(C)}))=\sigma^{-1}(\tau\text{(c)})=\sigma^{-1}(d)=D.
  • f(D)=\sigma^{-1}(\tau(\sigma(D)))=\sigma^{-1}(\tau(d))=\sigma^{-1}\text{(c)}=C.
Assim existe pelo menos uma projectividade f que troca A com B e C com D.
(Nota técnica: se na etapa de coordenatização \sigma um dos pontos C ou D vier a ser 0 ou \infty, usa-se a mesma ideia com pequenas adaptações: por exemplo se \sigma\text{(C)}=0 e \sigma(D)=d, escolher \tau(z)=d/z funciona. Se algum ponto coincide, caso degenerado, o enunciado usualmente exclui coincidências.)

Passo 4

Unicidade — provar que não há outra projectividade com essas propriedades.
Suponha g seja outra projectividade que também troca A com B e C com D. Considere a composição
h = f^{-1}\circ g.
Então, para cada um dos pontos A,B,C temos
h(A)=f^{-1}(g(A))=f^{-1}(B)=A,
h(B)=f^{-1}(g(B))=f^{-1}(A)=B,
h\text{(C)}=f^{-1}(g\text{(C)})=f^{-1}(D)=C.
Portanto h fixa três pontos distintos A,B,C. Mas uma projectividade que fixa três pontos distintos é necessariamente a identidade (ver observação no Passo 2). Logo h é a identidade, isto é f^{-1}\circ g=\mathrm{id}, e portanto g=f. Assim a projectividade construída é única.

Passo 5

Resumo final — o porquê da estratégia.
  • A ideia foi reduzir por conjugação ao caso simples em coordenadas onde A vira 0 e B vira \infty. Nesse modelo, a fórmula simples \tau(z)=\dfrac{cd}{z} já realiza a troca das duas pares desejadas. Conjugando de volta obtém-se a projectividade na reta original.
  • A unicidade vem do fato de que duas projectividades que coincidem em três pontos coincidem em toda a reta, e ao compor duas soluções obtém-se uma projectividade que fixa três pontos, logo é a identidade.

Resposta

There exists exactly one projectivity that interchanges A and B and also interchanges C and D.

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