Prove that a projective collineation that leaves fixed four points, no three of which are collinear, must be the identity. (Hint: Choose \ell_{\infty} to be one of the fixed lines, and apply Theorem 2.2 to \mathbf{P}^{2}-\ell_{\infty}.)
Passo 1
O enunciado dá uma collineação projetiva \varphi:\mathbf{P}^2\to\mathbf{P}^2 que fixa quatro pontos P_1,P_2,P_3,P_4 e diz que nenhum três desses pontos são colineares. O que se pede é mostrar que essa collineação é a identidade (isto é, envia todo ponto de \mathbf{P}^2 para ele próprio).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Existem quatro pontos fixos P_1,P_2,P_3,P_4.
Nenhum subconjunto de três desses pontos é colinear.
Queremos provar que a collineação projetiva que faz isso é a aplicação identidade em \mathbf{P}^2.
Passo 2
Vou traduzir o problema para linguagem de espaços vetoriais (coordenadas homogêneas), que é a forma natural de trabalhar com collineações projetivas de maneira concreta.
Lembrete rápido (o que precisamos saber):
Pontos de \mathbf{P}^2 correspondem a subespaços de dimensão 1 de um espaço vetorial V de dimensão 3 (ou seja, vetores não nulos em V considerados até multiplicação por escalar). Escreveremos o ponto associado ao vetor v\neq0 como [v].
Uma collineação projetiva \varphi é induzida por uma transformação linear invertível T:V\to V, única a menos de escalar; isto é, \varphi([v])=[T(v)].
Dizer que \varphi fixa o ponto [v] significa que [T(v)]=[v], isto é, existe \lambda\in k^\times tal que T(v)=\lambda v. Em outras palavras, um representante v de um ponto fixo é um autovetor de T (com autovalor \lambda).
Portanto, trabalhar com T em V e com vetores representantes dos P_i é uma estratégia direta.
Passo 3
Como os três pontos P_1,P_2,P_3 não são colineares, podemos escolher vetores representantes v_1,v_2,v_3\in V de P_1,P_2,P_3 que são linearmente independentes. Assim \{v_1,v_2,v_3\} é uma base de V. Vou passar a trabalhar nessa base (ou seja, escolho coordenadas homogêneas em que v_1,v_2,v_3 são os vetores canônicos da base).
Pelo fato de \varphi fixar cada P_i, para cada i=1,2,3 existe \lambda_i\in k^\times tal que
T(v_i)=\lambda_i v_i.
Logo, em relação à base \{v_1,v_2,v_3\} a matriz de T é diagonal:
Agora analisamos a condição de que o quarto ponto P_4 também é fixo. Seja v_4\in V um representante de P_4. Escrevendo v_4 nas coordenadas da base escolhida,
v_4 = \alpha v_1 + \beta v_2 + \gamma v_3,
com escalares \alpha,\beta,\gamma\in k, não todos zero.
Importante: nenhum três dos P_i são colineares. Se algum dos coeficientes \alpha,\beta,\gamma fosse zero, isso significaria que P_4 estaria no plano gerado por apenas dois dos vetores v_1,v_2,v_3, ou seja, P_4 estaria numa reta determinada por dois dos pontos P_1,P_2,P_3, o que implicaria que três dos pontos seriam colineares — contradizendo a hipótese. Portanto necessariamente
\alpha\neq0,\qquad \beta\neq0,\qquad \gamma\neq0.
Passo 5
Como P_4 é fixo, existe \lambda\in k^\times tal que T(v_4)=\lambda v_4. Vamos aplicar T a v_4 usando a diagonalidade encontrada no passo anterior:
Se \lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=\lambda, então a transformação linear T é simplesmente a homotetia T=\lambda\operatorname{Id}_V. Como no projeto as transformações lineares são consideradas modulo multiplicação escalar (isto é, T e cT induzem a mesma collineação projetiva para c\neq0), a homotetia induz a collineação identidade em \mathbf{P}^2.
Assim \varphi é a identidade projetiva: para todo ponto [v]\in\mathbf{P}^2 tem-se \varphi([v])=[T(v)]=[\lambda v]=[v].