Prove that a projective collineation that leaves fixed four points, no three of which are collinear, must be the identity. (Hint: Choose \ell_{\infty} to be one of the fixed lines, and apply Theorem 2.2 to \mathbf{P}^{2}-\ell_{\infty}.)

Passo 1

O enunciado dá uma collineação projetiva \varphi:\mathbf{P}^2\to\mathbf{P}^2 que fixa quatro pontos P_1,P_2,P_3,P_4 e diz que nenhum três desses pontos são colineares. O que se pede é mostrar que essa collineação é a identidade (isto é, envia todo ponto de \mathbf{P}^2 para ele próprio).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Existem quatro pontos fixos P_1,P_2,P_3,P_4.
  • Nenhum subconjunto de três desses pontos é colinear.
  • Queremos provar que a collineação projetiva que faz isso é a aplicação identidade em \mathbf{P}^2.

Passo 2

Vou traduzir o problema para linguagem de espaços vetoriais (coordenadas homogêneas), que é a forma natural de trabalhar com collineações projetivas de maneira concreta.
Lembrete rápido (o que precisamos saber):
  • Pontos de \mathbf{P}^2 correspondem a subespaços de dimensão 1 de um espaço vetorial V de dimensão 3 (ou seja, vetores não nulos em V considerados até multiplicação por escalar). Escreveremos o ponto associado ao vetor v\neq0 como [v].
  • Uma collineação projetiva \varphi é induzida por uma transformação linear invertível T:V\to V, única a menos de escalar; isto é, \varphi([v])=[T(v)].
  • Dizer que \varphi fixa o ponto [v] significa que [T(v)]=[v], isto é, existe \lambda\in k^\times tal que T(v)=\lambda v. Em outras palavras, um representante v de um ponto fixo é um autovetor de T (com autovalor \lambda).
Portanto, trabalhar com T em V e com vetores representantes dos P_i é uma estratégia direta.

Passo 3

Como os três pontos P_1,P_2,P_3 não são colineares, podemos escolher vetores representantes v_1,v_2,v_3\in V de P_1,P_2,P_3 que são linearmente independentes. Assim \{v_1,v_2,v_3\} é uma base de V. Vou passar a trabalhar nessa base (ou seja, escolho coordenadas homogêneas em que v_1,v_2,v_3 são os vetores canônicos da base).
Pelo fato de \varphi fixar cada P_i, para cada i=1,2,3 existe \lambda_i\in k^\times tal que
T(v_i)=\lambda_i v_i.
Logo, em relação à base \{v_1,v_2,v_3\} a matriz de T é diagonal:
[T] = \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & \lambda_2 & 0\\[4pt] 0 & 0 & \lambda_3 \end{pmatrix},
pois cada vetor da base é um autovetor.]

Passo 4

Agora analisamos a condição de que o quarto ponto P_4 também é fixo. Seja v_4\in V um representante de P_4. Escrevendo v_4 nas coordenadas da base escolhida,
v_4 = \alpha v_1 + \beta v_2 + \gamma v_3,
com escalares \alpha,\beta,\gamma\in k, não todos zero.
Importante: nenhum três dos P_i são colineares. Se algum dos coeficientes \alpha,\beta,\gamma fosse zero, isso significaria que P_4 estaria no plano gerado por apenas dois dos vetores v_1,v_2,v_3, ou seja, P_4 estaria numa reta determinada por dois dos pontos P_1,P_2,P_3, o que implicaria que três dos pontos seriam colineares — contradizendo a hipótese. Portanto necessariamente
\alpha\neq0,\qquad \beta\neq0,\qquad \gamma\neq0.

Passo 5

Como P_4 é fixo, existe \lambda\in k^\times tal que T(v_4)=\lambda v_4. Vamos aplicar T a v_4 usando a diagonalidade encontrada no passo anterior:
T(v_4) = T(\alpha v_1 + \beta v_2 + \gamma v_3) = \alpha T(v_1) + \beta T(v_2) + \gamma T(v_3) = \alpha \lambda_1 v_1 + \beta \lambda_2 v_2 + \gamma \lambda_3 v_3.
Por outro lado, T(v_4)=\lambda v_4 = \lambda(\alpha v_1 + \beta v_2 + \gamma v_3) = (\lambda\alpha) v_1 + (\lambda\beta) v_2 + (\lambda\gamma) v_3.
Comparando coordenadas em relação à base \{v_1,v_2,v_3\} obtemos o sistema
\lambda_1 \alpha = \lambda \alpha,\qquad \lambda_2 \beta = \lambda \beta,\qquad \lambda_3 \gamma = \lambda \gamma.
Como \alpha,\beta,\gamma são todos não nulos, podemos dividir em cada igualdade e obter
\lambda_1 = \lambda,\qquad \lambda_2 = \lambda,\qquad \lambda_3 = \lambda.
Portanto \lambda_1=\lambda_2=\lambda_3.

Passo 6

Se \lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=\lambda, então a transformação linear T é simplesmente a homotetia T=\lambda\operatorname{Id}_V. Como no projeto as transformações lineares são consideradas modulo multiplicação escalar (isto é, T e cT induzem a mesma collineação projetiva para c\neq0), a homotetia induz a collineação identidade em \mathbf{P}^2.
Assim \varphi é a identidade projetiva: para todo ponto [v]\in\mathbf{P}^2 tem-se \varphi([v])=[T(v)]=[\lambda v]=[v].

Resposta

A collineação projetiva é a identidade.

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