If the function x is T-periodic, show that the function y is also T-periodic in the case that:
y(t)=x(t)+c, where c is a complex constant; and

Passo 1

O enunciado dá duas informações claras:
  • A função x é T-periódica, ou seja, para todo t do domínio de x vale \,x(t+T)=x(t)\,.
  • A função y é definida por \,y(t)=x(t)+c\,, onde c é uma constante complexa (isto é, um número fixo que não depende de t).
O que o exercício pede: mostrar que y também é T-periódica (ou seja, provar que \,y(t+T)=y(t)\, para todo t).

Passo 2

Lembrete rápido e claro sobre o que significa ser T-periódica:
  • Uma função f é T-periódica quando existe um número positivo T tal que, para todo t no domínio de f,
f(t+T)=f(t).
Aqui T é fixo e a igualdade deve valer para todos os t.
Também é importante lembrar o que significa que c seja constante: c não depende de t; escrever c ou c(t) dá o mesmo valor independente de t.

Passo 3

Agora fazemos a verificação direta pedida. Começamos calculando y(t+T) usando a definição de y:
y(t+T)=x(t+T)+c.
Como x é T-periódica, podemos substituir x(t+T) por x(t). Assim:
y(t+T)=x(t)+c.

Passo 4

Mas x(t)+c é exatamente a definição de y(t). Logo
y(t+T)=x(t)+c=y(t).
A igualdade vale para todo t do domínio (porque a propriedade de periodicidade de x vale para todo t). Portanto mostramos que y satisfaz a condição de periodicidade com o mesmo período T.

Passo 5

Observações didáticas e exemplos para fixar:
  • A prova foi simplesmente substituir a periodicidade de x na expressão de y. Isso funciona porque somar uma constante não altera o fato de que a função repete seus valores deslocados por T.
  • O fato de c ser complexo não muda nada: a adição funciona normalmente em \mathbb{C}, e a constante continua não dependendo de t.
  • Exemplo concreto: se x(t)=\cos t que é 2\pi-periódica, então y(t)=\cos t + i (aqui c=i) também é 2\pi-periódica, pois \cos(t+2\pi)=\cos t e assim y(t+2\pi)=\cos(t+2\pi)+i=\cos t + i = y(t).
  • Uma nota final: qualquer período de x é também um período de y. Se T for o menor período de x (período fundamental), então normalmente T também é período fundamental de y (não há surpresa ao somar uma constante).

Resposta

\forall t,\\ y(t+T)=y(t)

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