If the function
is
-periodic, show that the function
is also
-periodic in the case that:
, where
is a complex constant; and
Passo 1
O enunciado dá duas informações claras:
- A função
é -periódica, ou seja, para todo do domínio de vale . - A função
é definida por , onde é uma constante complexa (isto é, um número fixo que não depende de ).
O que o exercício pede: mostrar que
também é
-periódica (ou seja, provar que
para todo
).
Passo 2
Lembrete rápido e claro sobre o que significa ser
-periódica:
- Uma função
é -periódica quando existe um número positivo tal que, para todo no domínio de ,
Aqui
é fixo e a igualdade deve valer para todos os
.
Também é importante lembrar o que significa que seja constante:
não depende de
; escrever
ou
dá o mesmo valor independente de
.
Também é importante lembrar o que significa que
Passo 3
Agora fazemos a verificação direta pedida. Começamos calculando
usando a definição de
:
Como
é
-periódica, podemos substituir
por
. Assim:
Passo 4
Mas
é exatamente a definição de
. Logo
A igualdade vale para todo
do domínio (porque a propriedade de periodicidade de
vale para todo
). Portanto mostramos que
satisfaz a condição de periodicidade com o mesmo período
.
Passo 5
Observações didáticas e exemplos para fixar:
- A prova foi simplesmente substituir a periodicidade de
na expressão de . Isso funciona porque somar uma constante não altera o fato de que a função repete seus valores deslocados por . - O fato de
ser complexo não muda nada: a adição funciona normalmente em , e a constante continua não dependendo de . - Exemplo concreto: se
que é -periódica, então (aqui ) também é -periódica, pois e assim . - Uma nota final: qualquer período de
é também um período de . Se for o menor período de (período fundamental), então normalmente também é período fundamental de (não há surpresa ao somar uma constante).