If the function x is T-periodic, show that the function y is also T-periodic in the case that:
y(t)=c x(t), where c is a complex constant;

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Dado que a função x é T-periódica.
  • Definida a função y por y(t)=c\,x(t), onde c é uma constante complexa.
O que se pede: mostrar que a função y também é T-periódica (ou seja, mostrar que y(t+T)=y(t) para todo t).

Passo 2

Definição precisa (para ficar tudo certinho): dizer que uma função f é T-periódica significa, por definição, que
f(t+T)=f(t)\quad\text{para todo }t.
Isso é uma igualdade entre valores da função para cada t. Aqui já sabemos que essa propriedade vale para f=x: ou seja,
x(t+T)=x(t)\quad\text{para todo }t.

Passo 3

Uma propriedade muito simples e fundamental dos números (reais ou complexos) é que a multiplicação respeita a igualdade: se a=b então, para qualquer constante c, tem-se c\,a=c\,b. Essa propriedade vale também quando c é um número complexo. Vamos usar exatamente isso: a igualdade x(t+T)=x(t) pode ser multiplicada por c em ambos os lados.

Passo 4

Aplicando o que dissemos ao caso de y, calculemos y(t+T) e usemos a periódica de x:
y(t+T)=c\,x(t+T).
Como x(t+T)=x(t) para todo t, substituímos e obtemos
y(t+T)=c\,x(t+T)=c\,x(t).
Mas c\,x(t) é exatamente y(t) pela definição de y. Portanto, para todo t vale
y(t+T)=c\,x(t+T)=c\,x(t)=y(t).
Isso mostra diretamente que y satisfaz a definição de T-periodicidade.

Passo 5

Observações finais e dica para a prova: o argumento funciona para qualquer constante c, inclusive c=0 ou c complexo. Um exemplo simples para fixar: se x(t)=\sin t (que é 2\pi-periódica) e c=2, então y(t)=2\sin t e y(t+2\pi)=2\sin(t+2\pi)=2\sin t=y(t). Na prova, quando te pedirem para mostrar que uma nova função é periódica por multiplicação por constante, basta reproduzir exatamente os passos 3–5.

Resposta

y é T-periódica.

Exercícios relacionados