If the function
is
-periodic, show that the function
is also
-periodic in the case that:
, where
is a complex constant;
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
- Dado que a função
é -periódica. - Definida a função
por , onde é uma constante complexa.
O que se pede: mostrar que a função
também é
-periódica (ou seja, mostrar que
para todo
).
Passo 2
Definição precisa (para ficar tudo certinho): dizer que uma função
é
-periódica significa, por definição, que
Isso é uma igualdade entre valores da função para cada
. Aqui já sabemos que essa propriedade vale para
: ou seja,
Passo 3
Uma propriedade muito simples e fundamental dos números (reais ou complexos) é que a multiplicação respeita a igualdade: se
então, para qualquer constante
, tem-se
. Essa propriedade vale também quando
é um número complexo. Vamos usar exatamente isso: a igualdade
pode ser multiplicada por
em ambos os lados.
Passo 4
Aplicando o que dissemos ao caso de
, calculemos
e usemos a periódica de
:
Como
para todo
, substituímos e obtemos
Mas
é exatamente
pela definição de
. Portanto, para todo
vale
Isso mostra diretamente que
satisfaz a definição de
-periodicidade.
Passo 5
Observações finais e dica para a prova: o argumento funciona para qualquer constante
, inclusive
ou
complexo. Um exemplo simples para fixar: se
(que é
-periódica) e
, então
e
. Na prova, quando te pedirem para mostrar que uma nova função é periódica por multiplicação por constante, basta reproduzir exatamente os passos 3–5.