3.6 Determine if each function
given below is periodic, and if it is, find its fundamental period.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas:
- Determinar se
é periódica. - Se for periódica, encontrar o período fundamental (o menor período positivo).
Informações dadas:
- A função em análise é
.
Passo 2
Definição e ideia chave (mini-aula):
- Uma função
é periódica se existe um número tal que, para todo , . Qualquer com essa propriedade é chamado de período. - O período fundamental (ou período primitivo) é o menor
que satisfaz essa propriedade. - Para a função seno pura
tem-se período
Aqui
é a frequência angular (nós a usamos para calcular o período da senoide).
Passo 3
Período de
e efeito do valor absoluto:
- Para
temos , então o período de é
Isto significa que
para todo
.
- Agora observe a propriedade básica do seno:
Aplicando com
obtemos
Tomando valor absoluto em ambos os lados:
Portanto
para todo
. Conclusão:
é um período de
.
Comentário didático: o operador valor absoluto “remove” a diferença de sinal entre
e
, o que costuma reduzir o período pela metade (de
para
neste caso).
Passo 4
Provar que
é o menor período positivo (ou seja, o período fundamental):
- Suponha que exista um período positivo
tal que e para todo . - Em particular, para
deve valer
- Calculando:
. Assim , isto é
- A igualdade
implica , ou seja
Dividindo por
obtém-se
. Como
, a única possibilidade inteira
que satisfaz isso seria
, mas
impede
. Logo não existe tal
com
.
- Portanto não há nenhum período positivo menor que
. Como já mostramos que é um período, segue que é o período fundamental.
Passo 5
Observações e exemplos rápidos para fixar:
- Exemplo paralelo: para
o período fundamental é (metade do período de ). Aqui análogo: tem período e reduz para . - Intuição: o valor absoluto identifica pontos onde a senoide muda de sinal; quando a senoide sofre uma inversão de sinal ao somar meio período, o módulo “anula” essa inversão e esse deslocamento passa a ser um período da função em módulo.
Resposta
A função é periódica com período fundamental
.