3.6 Determine if each function x given below is periodic, and if it is, find its fundamental period.
x(t)=|\sin (\pi t)|

Passo 1

O enunciado dá a função x(t)=|\sin(\pi t)| e pede duas coisas:
  • Determinar se x(t) é periódica.
  • Se for periódica, encontrar o período fundamental (o menor período positivo).
Informações dadas:
  • A função em análise é x(t)=|\sin(\pi t)|.

Passo 2

Definição e ideia chave (mini-aula):
  • Uma função f é periódica se existe um número T>0 tal que, para todo t, f(t+T)=f(t). Qualquer T com essa propriedade é chamado de período.
  • O período fundamental (ou período primitivo) é o menor T>0 que satisfaz essa propriedade.
  • Para a função seno pura \sin(\omega t) tem-se período
T_{\sin}=\frac{2\pi}{\omega}.
Aqui \omega é a frequência angular (nós a usamos para calcular o período da senoide).

Passo 3

Período de \sin(\pi t) e efeito do valor absoluto:
  • Para \sin(\pi t) temos \omega=\pi, então o período de \sin(\pi t) é
T_{\sin(\pi t)}=\frac{2\pi}{\pi}=2.
Isto significa que \sin(\pi(t+2))=\sin(\pi t) para todo t.
  • Agora observe a propriedade básica do seno:
\sin(\theta+\pi)=-\sin(\theta).
Aplicando com \theta=\pi t obtemos
\sin(\pi(t+1))=\sin(\pi t+\pi)=-\sin(\pi t).
Tomando valor absoluto em ambos os lados:
|\sin(\pi(t+1))|=|-\sin(\pi t)|=|\sin(\pi t)|.
Portanto x(t+1)=x(t) para todo t. Conclusão: T=1 é um período de x.
Comentário didático: o operador valor absoluto “remove” a diferença de sinal entre \sin(\pi t) e \sin(\pi t+\pi), o que costuma reduzir o período pela metade (de 2 para 1 neste caso).

Passo 4

Provar que 1 é o menor período positivo (ou seja, o período fundamental):
  • Suponha que exista um período positivo T tal que 0<T<1 e x(t+T)=x(t) para todo t.
  • Em particular, para t=0 deve valer
x(T)=x(0).
  • Calculando: x(0)=|\sin(0)|=0. Assim x(T)=0, isto é
|\sin(\pi T)|=0.
  • A igualdade |\sin(\pi T)|=0 implica \sin(\pi T)=0, ou seja
\pi T = k\pi \quad\text{para algum }k\in\mathbb{Z}.
Dividindo por \pi obtém-se T=k. Como 0<T<1, a única possibilidade inteira k que satisfaz isso seria k=0, mas T>0 impede k=0. Logo não existe tal T com 0<T<1.
  • Portanto não há nenhum período positivo menor que 1. Como já mostramos que 1 é um período, segue que 1 é o período fundamental.

Passo 5

Observações e exemplos rápidos para fixar:
  • Exemplo paralelo: para y(t)=|\sin t| o período fundamental é \pi (metade do período 2\pi de \sin t). Aqui análogo: \sin(\pi t) tem período 2 e |\sin(\pi t)| reduz para 1.
  • Intuição: o valor absoluto identifica pontos onde a senoide muda de sinal; quando a senoide sofre uma inversão de sinal ao somar meio período, o módulo “anula” essa inversão e esse deslocamento passa a ser um período da função em módulo.

Resposta

A função é periódica com período fundamental 1.

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