(IFMA-2020) Qual o valor da expressão
\frac{64^{0,666 \cdots}+36^{0,5}}{\sqrt{8}}
(a) \frac{11 \sqrt{2}}{2}
(b) \frac{7 \sqrt{2}}{2}
(c) \frac{13 \sqrt{2}}{2}
(d) \frac{25 \sqrt{2}}{2}
(e) \frac{15 \sqrt{2}}{2}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o valor da expressão
\frac{64^{0,666\ldots}+36^{0,5}}{\sqrt{8}}.
Informações dadas:
  • há duas potências no numerador com expoentes decimais repetidos: 0,666\ldots e 0,5;
  • o denominador é \sqrt{8}.
    A tarefa é simplificar essa expressão e escolher a alternativa correta entre as dadas.

Passo 2

Interpretar os expoentes decimais como frações racionais (isso facilita muito os cálculos sem calculadora).
Explicação curta sobre repetição decimal:
  • Quando aparece 0,666\ldots com 6 repetindo, isso equivale à fração \tfrac{2}{3}. Uma maneira rápida de ver isso: se x=0,666\ldots então 10x=6,666\ldots; subtraindo 10x-x=9x=6 x=\tfrac{6}{9}=\tfrac{2}{3}.
Portanto:
0,666\ldots=\tfrac{2}{3},\qquad 0,5=\tfrac{1}{2}.

Passo 3

Reescrever a expressão usando as frações obtidas:
\frac{64^{\tfrac{2}{3}} + 36^{\tfrac{1}{2}}}{\sqrt{8}}.
Aqui uma regra útil de potências fracionárias (explicar bem):
  • Para a>0 e números racionais m,n com n>0,
a^{\tfrac{m}{n}} = \bigl(a^{\tfrac{1}{n}}\bigr)^{m} = \bigl(\sqrt[n]{a}\bigr)^{m}.
Isto significa: primeiro tira-se a raiz n-ésima de a, depois eleva-se o resultado à potência m. Alternativamente pode-se elevar a a^m e depois tirar a raiz n-ésima, quando convier.

Passo 4

Calcular 64^{\tfrac{2}{3}} usando a regra anterior.
Observação: 64 é uma potência perfeita de 4 e de 2: 64=4^3=2^6. Usando a^{\tfrac{2}{3}}=(a^{\tfrac{1}{3}})^2, temos:
64^{\tfrac{2}{3}} = \bigl(64^{\tfrac{1}{3}}\bigr)^2.
Como 64^{\tfrac{1}{3}}=\sqrt[3]{64}=4 (pois 4^3=64), então
64^{\tfrac{2}{3}} = 4^2 = 16.

Passo 5

Calcular 36^{\tfrac{1}{2}}.
Explicação: expoente \tfrac{1}{2} significa raiz quadrada. Ou seja, a^{\tfrac{1}{2}}=\sqrt{a}.
Como \sqrt{36}=6, segue:
36^{\tfrac{1}{2}} = 6.

Passo 6

Somar os termos do numerador:
64^{\tfrac{2}{3}} + 36^{\tfrac{1}{2}} = 16 + 6 = 22.
Agora a expressão ficou
\frac{22}{\sqrt{8}}.

Passo 7

Simplificar o denominador \sqrt{8}.
Nota: 8=4\cdot 2 e \sqrt{4}=2. Então
\sqrt{8} = \sqrt{4\cdot 2} = \sqrt{4}\,\sqrt{2} = 2\sqrt{2}.
Substituindo:
\frac{22}{\sqrt{8}} = \frac{22}{2\sqrt{2}} = \frac{11}{\sqrt{2}}.

Passo 8

Racionalizar o denominador (prática comum em provas): multiplicar numerador e denominador por \sqrt{2} para eliminar raiz no denominador.
\frac{11}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{11\sqrt{2}}{2}.
Portanto a expressão simplificada é \dfrac{11\sqrt{2}}{2}.

Resposta

(a) \dfrac{11 \sqrt{2}}{2}

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