(UFJF-MG) Considera as seguintes afirmativas:
I. O produto de dois números irracionais é um número irracional;
II. A soma de um número racional com um número irracional é um número irracional;
III. Se um número natural a é divisor do produto de dois outros naturais b e c, então
é divisor de
ou de
;
IV. O produto de um número complexo pelo seu conjugado é um número real.
Pode-se afirmar que:
(a) todas as afirmativas são falsas;
(b) todas as afirmativas são verdadeiras;
(c) apenas a afirmativa IV é verdadeira;
(d) apenas as afirmativas I e III são verdadeiras;
(e) apenas a afirmativa I é falsa.
I. O produto de dois números irracionais é um número irracional;
II. A soma de um número racional com um número irracional é um número irracional;
III. Se um número natural a é divisor do produto de dois outros naturais b e c, então
IV. O produto de um número complexo pelo seu conjugado é um número real.
(a) todas as afirmativas são falsas;
(b) todas as afirmativas são verdadeiras;
(c) apenas a afirmativa IV é verdadeira;
(d) apenas as afirmativas I e III são verdadeiras;
(e) apenas a afirmativa I é falsa.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
O enunciado apresenta quatro afirmativas e pede que se escolha, entre as alternativas (a)–(e), qual opção corresponde às afirmativas verdadeiras/falsas:
I. O produto de dois números irracionais é um número irracional.
II. A soma de um número racional com um número irracional é um número irracional.
III. Se um número natural é divisor do produto de dois outros naturais
e
, então
é divisor de
ou de
.
IV. O produto de um número complexo pelo seu conjugado é um número real.
II. A soma de um número racional com um número irracional é um número irracional.
III. Se um número natural
IV. O produto de um número complexo pelo seu conjugado é um número real.
O que se pede, portanto, é decidir, com justificativas, quais dessas afirmativas são verdadeiras e quais são falsas e, com base nisso, indicar a alternativa correta entre as dadas.
Passo 2
Afirmativa I: “O produto de dois números irracionais é um número irracional.”
Primeiro, lembrar o que é número racional e irracional de forma simples:
- Um número racional é aquele que pode ser escrito como
com e . - Um número irracional é um número real que não pode ser escrito assim.
A afirmativa I diz que para quaisquer dois irracionais
e
, o produto
é irracional. Para refutar uma afirmativa universal (“para quaisquer…”) basta um contraexemplo.
Contraexemplo simples e clássico:
Pegue e
. Ambos são irracionais. Então
Pegue
e
é racional. Logo existe caso em que produto de dois irracionais é racional. Portanto a afirmativa I é falsa.
Observação didática: isso não significa que produto de irracionais nunca é irracional — por exemplo
é irracional — só mostra que a afirmação “sempre” é falsa.
Passo 3
Afirmativa II: “A soma de um número racional com um número irracional é um número irracional.”
Vamos provar que isso é sempre verdade. Seja
um número racional e
um número irracional. Queremos mostrar que
é irracional.
Prova por contradição (método simples e elegante):
- Suponha, para contradizer, que
seja racional. - A diferença entre dois números racionais é racional. Como
é racional e (pela hipótese de contradição) seria racional, então
seria diferença de dois racionais, portanto racional. Isso contradiz a hipótese de que
é irracional.
Logo a hipótese de contradição é impossível, e assim
deve ser irracional. Portanto a afirmativa II é verdadeira.
Exemplo concreto para fixar:
(racional) e
(irracional). Então
é irracional.
Passo 4
Afirmativa III: “Se um número natural
é divisor do produto de dois outros naturais
e
, então
é divisor de
ou de
.”
Vamos testar com exemplos; é preciso cuidado: existe uma forma correta parecida com isso que envolve números primos (Teorema: se
é primo e
então
ou
). Mas a afirmativa III não exige que
seja primo — diz apenas "um número natural
".
Contraexemplo simples:
Tome ,
e
. Então
Tome
e
é divisível por
, ou seja
. Mas
não divide
e não divide
. Portanto a conclusão "
divide
ou
divide
" é falsa neste caso.
Logo a afirmativa III, como está escrita, é falsa.
Observação didática: a propriedade verdadeira é para primos: se
é primo e
então
ou
. Para
composto essa propriedade não vale em geral (exemplo acima).
Passo 5
Afirmativa IV: “O produto de um número complexo pelo seu conjugado é um número real.”
Primeiro, definição e notação simples:
- Um número complexo genérico escreve-se
, onde e é a unidade imaginária ( ). - O conjugado de
é .
Calcule o produto:
O resultado
é um número real (e, além disso, não-negativo). Logo o produto de um número complexo pelo seu conjugado é sempre real. Portanto a afirmativa IV é verdadeira.
Exemplo concreto: para
,
e
, real.
Passo 6
Resumo final das verificações:
- I é falsa (contraexemplo
). - II é verdadeira (prova por contradição: soma racional + irracional é irracional).
- III é falsa (contraexemplo
mas e ). - IV é verdadeira (se
então ).
Portanto as afirmativas verdadeiras são II e IV; as falsas são I e III.
Observação importante: examinando as alternativas dadas:
(a) todas falsas; (b) todas verdadeiras; (c) apenas IV verdadeira; (d) apenas I e III verdadeiras; (e) apenas I é falsa.
(a) todas falsas; (b) todas verdadeiras; (c) apenas IV verdadeira; (d) apenas I e III verdadeiras; (e) apenas I é falsa.
Nenhuma dessas alternativas corresponde à combinação correta (II e IV verdadeiras, I e III falsas). Assim, entre as opções (a)–(e) nenhuma é correta.
Força aí — é chato quando a questão traz opções que não batem com a lógica, mas o raciocínio está claro: II e IV verdadeiras, I e III falsas.
Resposta
Nenhuma das alternativas (a)–(e) está correta; as afirmativas verdadeiras são II e IV, e as falsas são I e III.