(UFJF-MG) Considera as seguintes afirmativas:
I. O produto de dois números irracionais é um número irracional;
II. A soma de um número racional com um número irracional é um número irracional;
III. Se um número natural a é divisor do produto de dois outros naturais b e c, então \mathfrak{a} é divisor de b ou de c;
IV. O produto de um número complexo pelo seu conjugado é um número real.
Pode-se afirmar que:
(a) todas as afirmativas são falsas;
(b) todas as afirmativas são verdadeiras;
(c) apenas a afirmativa IV é verdadeira;
(d) apenas as afirmativas I e III são verdadeiras;
(e) apenas a afirmativa I é falsa.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
O enunciado apresenta quatro afirmativas e pede que se escolha, entre as alternativas (a)–(e), qual opção corresponde às afirmativas verdadeiras/falsas:
I. O produto de dois números irracionais é um número irracional.
II. A soma de um número racional com um número irracional é um número irracional.
III. Se um número natural a é divisor do produto de dois outros naturais b e c, então \mathfrak{a} é divisor de b ou de c.
IV. O produto de um número complexo pelo seu conjugado é um número real.
O que se pede, portanto, é decidir, com justificativas, quais dessas afirmativas são verdadeiras e quais são falsas e, com base nisso, indicar a alternativa correta entre as dadas.

Passo 2

Afirmativa I: “O produto de dois números irracionais é um número irracional.”
Primeiro, lembrar o que é número racional e irracional de forma simples:
  • Um número racional é aquele que pode ser escrito como \dfrac{p}{q} com p,q\in\mathbb{Z} e q\neq0.
  • Um número irracional é um número real que não pode ser escrito assim.
A afirmativa I diz que para quaisquer dois irracionais x e y, o produto xy é irracional. Para refutar uma afirmativa universal (“para quaisquer…”) basta um contraexemplo.
Contraexemplo simples e clássico:
Pegue x=\sqrt{2} e y=\sqrt{2}. Ambos são irracionais. Então
x\cdot y=\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=2,
e 2 é racional. Logo existe caso em que produto de dois irracionais é racional. Portanto a afirmativa I é falsa.
Observação didática: isso não significa que produto de irracionais nunca é irracional — por exemplo \sqrt{2}\cdot\sqrt{3}=\sqrt{6} é irracional — só mostra que a afirmação “sempre” é falsa.

Passo 3

Afirmativa II: “A soma de um número racional com um número irracional é um número irracional.”
Vamos provar que isso é sempre verdade. Seja r um número racional e s um número irracional. Queremos mostrar que r+s é irracional.
Prova por contradição (método simples e elegante):
  • Suponha, para contradizer, que r+s seja racional.
  • A diferença entre dois números racionais é racional. Como r é racional e (pela hipótese de contradição) r+s seria racional, então
s=(r+s)-r
seria diferença de dois racionais, portanto racional. Isso contradiz a hipótese de que s é irracional.
Logo a hipótese de contradição é impossível, e assim r+s deve ser irracional. Portanto a afirmativa II é verdadeira.
Exemplo concreto para fixar: r=1 (racional) e s=\sqrt{2} (irracional). Então r+s=1+\sqrt{2} é irracional.

Passo 4

Afirmativa III: “Se um número natural a é divisor do produto de dois outros naturais b e c, então \mathfrak{a} é divisor de b ou de c.”
Vamos testar com exemplos; é preciso cuidado: existe uma forma correta parecida com isso que envolve números primos (Teorema: se p é primo e p\mid(bc) então p\mid b ou p\mid c). Mas a afirmativa III não exige que a seja primo — diz apenas "um número natural a".
Contraexemplo simples:
Tome a=6, b=2 e c=3. Então
b\cdot c = 2\cdot 3 = 6,
e 6 é divisível por 6, ou seja 6\mid (2\cdot3). Mas 6 não divide 2 e não divide 3. Portanto a conclusão " a divide b ou a divide c" é falsa neste caso.
Logo a afirmativa III, como está escrita, é falsa.
Observação didática: a propriedade verdadeira é para primos: se p é primo e p\mid bc então p\mid b ou p\mid c. Para a composto essa propriedade não vale em geral (exemplo acima).

Passo 5

Afirmativa IV: “O produto de um número complexo pelo seu conjugado é um número real.”
Primeiro, definição e notação simples:
  • Um número complexo genérico escreve-se z = x + i y, onde x,y\in\mathbb{R} e i é a unidade imaginária ( i^2=-1).
  • O conjugado de z é \overline{z} = x - i y.
Calcule o produto:
z\overline{z}=(x+iy)(x-iy)=x^2-(iy)^2 = x^2 - i^2 y^2 = x^2 -(-1) y^2 = x^2+y^2.
O resultado x^2+y^2 é um número real (e, além disso, não-negativo). Logo o produto de um número complexo pelo seu conjugado é sempre real. Portanto a afirmativa IV é verdadeira.
Exemplo concreto: para z=3+4i, \overline{z}=3-4i e z\overline{z}=3^2+4^2=25, real.

Passo 6

Resumo final das verificações:
  • I é falsa (contraexemplo \sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=2).
  • II é verdadeira (prova por contradição: soma racional + irracional é irracional).
  • III é falsa (contraexemplo 6\mid(2\cdot3) mas 6\nmid 2 e 6\nmid 3).
  • IV é verdadeira (se z=x+iy então z\overline{z}=x^2+y^2\in\mathbb{R}).
Portanto as afirmativas verdadeiras são II e IV; as falsas são I e III.
Observação importante: examinando as alternativas dadas:
(a) todas falsas; (b) todas verdadeiras; (c) apenas IV verdadeira; (d) apenas I e III verdadeiras; (e) apenas I é falsa.
Nenhuma dessas alternativas corresponde à combinação correta (II e IV verdadeiras, I e III falsas). Assim, entre as opções (a)–(e) nenhuma é correta.
Força aí — é chato quando a questão traz opções que não batem com a lógica, mas o raciocínio está claro: II e IV verdadeiras, I e III falsas.

Resposta

Nenhuma das alternativas (a)–(e) está correta; as afirmativas verdadeiras são II e IV, e as falsas são I e III.

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