(PUC-SP) Considere o número inteiro
P=100 \cdot 101 \cdot 102 \cdots 200,
produto de 101 números inteiros sucessivos. Ao escrever-se P como um produto de fatores primos, o número de vezes que o fator 7 aparece é
(a) 15
(b) 16
(c) 17
(d) 18
(e) 19

Passo 1

O enunciado dá o número inteiro
P = 100\cdot101\cdot102\cdots200,
produto de todos os inteiros consecutivos de 100 até 200 (inclusive). A pergunta é: ao escrever P como produto de fatores primos, qual é o número de vezes que o fator primo 7 aparece? Ou seja, calcular o expoente de 7 na fatoração prima de P.
Informações relevantes:
  • O produto contém todos os inteiros n tais que 100\le n\le200.
  • Para contar o número de vezes que um primo p aparece numa multiplicação de inteiros consecutivos usamos a contagem de múltiplos de p, p^2, p^3,\dots no intervalo.

Passo 2

Ideia e fórmula que vamos usar (explicação didática):
  • Se a gente quer saber quantas vezes o primo p aparece em m!, existe a fórmula de Legendre:
v_p(m!)=\sum_{k\ge1}\left\lfloor\frac{m}{p^k}\right\rfloor,
onde v_p(\cdot) é o expoente de p na fatoração. Isso funciona porque \left\lfloor\frac{m}{p}\right\rfloor conta quantos números até m são múltiplos de p (cada um contribui com pelo menos um p), \left\lfloor\frac{m}{p^2}\right\rfloor conta quantos são múltiplos de p^2 (cada um desses tem um p extra), e assim por diante.
  • Nosso produto é de um intervalo 100\cdots200. Podemos relacionar com fatoriais:
P=\frac{200!}{99!}.
Logo o expoente de p em P é
v_p(P)=v_p(200!)-v_p(99!)=\sum_{k\ge1}\left(\left\lfloor\frac{200}{p^k}\right\rfloor-\left\lfloor\frac{99}{p^k}\right\rfloor\right).
Isto dá o número de múltiplos de p^k em [100,200] somados com multiplicidade apropriada.
Exemplo simples para entender: se o intervalo fosse 4\cdot5\cdot6 e quiséssemos contar fatores 2, então múltiplos de 2 são 4,6 (2 ocorrências) e múltiplos de 4=2^2 é 4 (contribui com mais um 2), total 3 fatores 2. A mesma ideia generaliza aqui.

Passo 3

Aplicando para p=7: contamos múltiplos de 7 no intervalo [100,200].
Usamos a diferença de pisos:
\left\lfloor\frac{200}{7}\right\rfloor-\left\lfloor\frac{99}{7}\right\rfloor.
Calculemos cada piso:
\left\lfloor\frac{200}{7}\right\rfloor = 28 \quad\text{(pois }7\cdot28=196\le200<203\text{)},
\left\lfloor\frac{99}{7}\right\rfloor = 14 \quad\text{(pois }7\cdot14=98\le99<105\text{)}.
Portanto o número de múltiplos de 7 em [100,200] é
28-14=14.
(Verificação alternativa: o primeiro múltiplo de 7 maior ou igual a 100 é 105=7\cdot15 e o último é 196=7\cdot28. Contando de 15 a 28 28-15+1=14.)

Passo 4

Agora contamos múltiplos de 7^2=49 no mesmo intervalo — esses dão um 7 extra cada um (pois são divisíveis por 7^2):
\left\lfloor\frac{200}{49}\right\rfloor-\left\lfloor\frac{99}{49}\right\rfloor.
Calculemos:
\left\lfloor\frac{200}{49}\right\rfloor = 4 \quad\text{(pois }49\cdot4=196\le200<245\text{)},
\left\lfloor\frac{99}{49}\right\rfloor = 2 \quad\text{(pois }49\cdot2=98\le99<147\text{)}.
Logo há
4-2=2
números em [100,200] divisíveis por 49. Esses dois números são 147=49\cdot3 e 196=49\cdot4. Cada um contém pelo menos 7^2, por isso já contabilizamos um 7 para eles na conta dos múltiplos de 7 e precisamos somar mais um por cada um (o que fazemos aqui).

Passo 5

Verificamos potências maiores: 7^3=343>200, portanto não há múltiplos de 343 no intervalo. Assim não há contribuições adicionais.

Passo 6

Somando as contribuições:
  • múltiplos de 7: 14,
  • múltiplos de 49 (extra): 2,
  • maiores potências: 0.
Portanto o expoente de 7 em P é
14+2=16.

Resposta

(b) 16

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