(PUC-MG) A seguir, estão três afirmações sobre números reais:
I. O número
é racional.
II. O número
pode ser escrito na forma
, na qual
e
são inteiros, com
.
III. O valor de
é 1 ou -1 .
O número de afirmações corretas é:
(a) 0
(b) 1
(c) 2
(d) 3
I. O número
II. O número
III. O valor de
(a) 0
(b) 1
(c) 2
(d) 3
Passo 1
O enunciado dá três afirmações sobre números reais e pede quantas delas são corretas. As três afirmações são:
- I. O número
é racional. - II. O número
pode ser escrito na forma , com e inteiros e . - III. O valor de
é ou .
Informações relevantes fornecidas:
- O número da afirmação I tem escrita decimal
(ou seja, a parte decimal é ). - A afirmação II trata de escrever
como uma fração de inteiros. - A afirmação III envolve a raiz quadrada de
dividida por .
O que é pedido: determinar quantas das afirmações I, II e III são corretas e, consequentemente, indicar a alternativa correta entre (a) 0, (b) 1, (c) 2, (d) 3.
Passo 2
Entender o que significa “racional” e como identificar um decimal racional.
- Definição: um número real é racional se pode ser escrito na forma
, com inteiros e . - Propriedade prática útil: um número decimal é racional se, e somente se, sua expansão decimal é finita ou periódica (ou seja, tem um bloco de dígitos que se repete infinitamente).
Exemplo rápido:porque o dígito se repete para sempre; é decimal finito, logo racional.
Aplicando isso ao número da afirmação I: a parte decimal
mostra que, a partir de certo ponto, temos apenas
repetindo (
). Logo é uma expansão decimal periódica e, por essa propriedade, o número é racional. Vamos transformar esse decimal em fração para ver explicitamente.
Passo 3
Converter
em fração (método padrão para decimais periódicos).
- Identificar a parte não periódica e a periódica:
- Parte inteira:
. - Parte decimal não periódica logo após a vírgula:
(três dígitos), isto é, s = 3 dígitos não repetidos. - Período: o dígito
que se repete, portanto o comprimento do período é .
- Parte inteira:
Procedimento algébrico:
- Seja
. - Multiplicar por
para deslocar a parte não periódica para a esquerda da vírgula: - Multiplicar agora por
para alinhar um período com outro: - Subtrair as duas equações para eliminar a parte periódica infinita:
- Logo
Passo 4
Simplificar a fração
e concluir sobre a racionalidade.
- Dividindo numerador e denominador por
(soma dos dígitos de é , divisível por ): -
não é divisível por nem por ou , e ; a fração está em forma reduzida suficiente para nosso propósito.
Conclusão:é uma fração de inteiros, portanto racional. A afirmação I é verdadeira.
Passo 5
Tratar a afirmação II: mostrar que
não pode ser escrito como
com
inteiros e
(provar que
é irracional).
Estratégia: prova por contradição usando argumento clássico (sem assumir resultados avançados).
Estratégia: prova por contradição usando argumento clássico (sem assumir resultados avançados).
- Suponha, para contradizer, que
com inteiros sem fator comum (ou seja, em forma irredutível) e . - Então, elevando ao quadrado:
- Dessa igualdade segue que
é divisível por , logo é divisível por (se um primo divide o quadrado, divide o número). - Logo existe inteiro
tal que . Substituindo: - Assim
é divisível por , então também é divisível por . - Conclusão:
e têm o fator em comum, o que contradiz a hipótese de que estava em forma irredutível.
Portanto a suposição inicial é falsa enão é racional. A afirmação II é falsa.
Passo 6
Tratar a afirmação III: avaliar
.
- Propriedade importante: para todo real
, a definição de raiz quadrada principal impõe . Ou seja, a raiz quadrada retorna o valor não negativo cuja quadrado é . - Aplicando isso com
: - Logo
Observação: algumas pessoas confundem e acham que
poderia ser
, mas a convenção padrão para a função
é devolver o valor não-negativo. Portanto a afirmação de que
é
ou
fica mais precisa:
é realmente
(não
). Assim a afirmação III, interpretada como "o valor de
é
ou
", é ambígua se entendida como afirmando que pode ser qualquer um dos dois; mas o enunciado pergunta se a afirmação é correta — a interpretação natural é se
é igual a um desses valores: como
, a afirmação (que diz “é 1 ou -1”) é verdadeira (pois uma das alternativas citadas,
, é o valor real). Portanto a afirmação III é verdadeira.
Passo 7
Contar quantas afirmações são corretas:
- I é verdadeira (decimal periódico → racional).
- II é falsa (
é irracional). - III é verdadeira (
).
Portanto há
afirmações corretas. A alternativa correspondente é a (c).
Resposta
(c) 2