(PUC-MG) A seguir, estão três afirmações sobre números reais:
I. O número 2,325666 \ldots é racional.
II. O número \sqrt{7} pode ser escrito na forma \frac{\mathrm{p}}{\mathrm{q}}, na qual p e q são inteiros, com q \neq 0.
III. O valor de \mathrm{m}=\frac{\sqrt{(-3)^{2}}}{3} é 1 ou -1 .
O número de afirmações corretas é:
(a) 0
(b) 1
(c) 2
(d) 3

Passo 1

O enunciado dá três afirmações sobre números reais e pede quantas delas são corretas. As três afirmações são:
  • I. O número 2,325666\ldots é racional.
  • II. O número \sqrt{7} pode ser escrito na forma \dfrac{\mathrm{p}}{\mathrm{q}}, com p e q inteiros e q\neq0.
  • III. O valor de m=\dfrac{\sqrt{(-3)^{2}}}{3} é 1 ou -1.
Informações relevantes fornecidas:
  • O número da afirmação I tem escrita decimal 2{,}325666\ldots (ou seja, a parte decimal é 0{,}325666\ldots).
  • A afirmação II trata de escrever \sqrt{7} como uma fração de inteiros.
  • A afirmação III envolve a raiz quadrada de (-3)^2 dividida por 3.
O que é pedido: determinar quantas das afirmações I, II e III são corretas e, consequentemente, indicar a alternativa correta entre (a) 0, (b) 1, (c) 2, (d) 3.

Passo 2

Entender o que significa “racional” e como identificar um decimal racional.
  • Definição: um número real é racional se pode ser escrito na forma \dfrac{p}{q}, com p,q inteiros e q\neq0.
  • Propriedade prática útil: um número decimal é racional se, e somente se, sua expansão decimal é finita ou periódica (ou seja, tem um bloco de dígitos que se repete infinitamente).
    Exemplo rápido: 0{,}333\ldots = \dfrac{1}{3} porque o dígito 3 se repete para sempre; 0{,}125 = \dfrac{1}{8} é decimal finito, logo racional.
Aplicando isso ao número da afirmação I: a parte decimal 0{,}325666\ldots mostra que, a partir de certo ponto, temos apenas 6 repetindo ( \ldots666\ldots). Logo é uma expansão decimal periódica e, por essa propriedade, o número é racional. Vamos transformar esse decimal em fração para ver explicitamente.

Passo 3

Converter x=2{,}325666\ldots em fração (método padrão para decimais periódicos).
  • Identificar a parte não periódica e a periódica:
    • Parte inteira: 2.
    • Parte decimal não periódica logo após a vírgula: 325 (três dígitos), isto é, s = 3 dígitos não repetidos.
    • Período: o dígito 6 que se repete, portanto o comprimento do período é r = 1.
Procedimento algébrico:
  • Seja x = 2{,}325666\ldots.
  • Multiplicar por 10^{s}=10^{3}=1000 para deslocar a parte não periódica para a esquerda da vírgula: 1000x = 2325{,}666\ldots
  • Multiplicar agora por 10^{r}=10^{1}=10 para alinhar um período com outro: 10000x = 23256{,}666\ldots
  • Subtrair as duas equações para eliminar a parte periódica infinita: 10000x - 1000x = 23256{,}666\ldots - 2325{,}666\ldots
9000x = 20931
  • Logo x = \dfrac{20931}{9000}.

Passo 4

Simplificar a fração \dfrac{20931}{9000} e concluir sobre a racionalidade.
  • Dividindo numerador e denominador por 3 (soma dos dígitos de 20931 é 2+0+9+3+1=15, divisível por 3): x = \dfrac{20931}{9000} = \dfrac{6977}{3000}.
  • 6977 não é divisível por 3 nem por 2 ou 5, e 3000=2^{3}\cdot3\cdot5^{3}; a fração está em forma reduzida suficiente para nosso propósito.
    Conclusão: x é uma fração de inteiros, portanto racional. A afirmação I é verdadeira.

Passo 5

Tratar a afirmação II: mostrar que \sqrt{7} não pode ser escrito como \dfrac{p}{q} com p,q inteiros e q\neq0 (provar que \sqrt{7} é irracional).
Estratégia: prova por contradição usando argumento clássico (sem assumir resultados avançados).
  • Suponha, para contradizer, que \sqrt{7}=\dfrac{p}{q} com p,q inteiros sem fator comum (ou seja, em forma irredutível) e q\neq0.
  • Então, elevando ao quadrado: 7 q^{2} = p^{2}.
  • Dessa igualdade segue que p^{2} é divisível por 7, logo p é divisível por 7 (se um primo divide o quadrado, divide o número).
  • Logo existe inteiro k tal que p=7k. Substituindo: 7 q^{2} = (7k)^{2} = 49 k^{2} \quad\Rightarrow\quad q^{2} = 7 k^{2}.
  • Assim q^{2} é divisível por 7, então q também é divisível por 7.
  • Conclusão: p e q têm o fator 7 em comum, o que contradiz a hipótese de que \dfrac{p}{q} estava em forma irredutível.
    Portanto a suposição inicial é falsa e \sqrt{7} não é racional. A afirmação II é falsa.

Passo 6

Tratar a afirmação III: avaliar m=\dfrac{\sqrt{(-3)^{2}}}{3}.
  • Propriedade importante: para todo real a, a definição de raiz quadrada principal impõe \sqrt{a^{2}} = |a|. Ou seja, a raiz quadrada retorna o valor não negativo cuja quadrado é a^{2}.
  • Aplicando isso com a=-3: \sqrt{(-3)^{2}} = |{-3}| = 3.
  • Logo m = \dfrac{\sqrt{(-3)^{2}}}{3} = \dfrac{3}{3} = 1.
Observação: algumas pessoas confundem e acham que \sqrt{(-3)^{2}} poderia ser -3, mas a convenção padrão para a função \sqrt{\cdot} é devolver o valor não-negativo. Portanto a afirmação de que m é 1 ou -1 fica mais precisa: m é realmente 1 (não -1). Assim a afirmação III, interpretada como "o valor de m é 1 ou -1", é ambígua se entendida como afirmando que pode ser qualquer um dos dois; mas o enunciado pergunta se a afirmação é correta — a interpretação natural é se m é igual a um desses valores: como m=1, a afirmação (que diz “é 1 ou -1”) é verdadeira (pois uma das alternativas citadas, 1, é o valor real). Portanto a afirmação III é verdadeira.

Passo 7

Contar quantas afirmações são corretas:
  • I é verdadeira (decimal periódico → racional).
  • II é falsa ( \sqrt{7} é irracional).
  • III é verdadeira ( m=1).
Portanto há 2 afirmações corretas. A alternativa correspondente é a (c).

Resposta

(c) 2

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