Demostre as proposições abaixo:
Somar a uma linha uma combinação linear de outras duas não altera o determinante.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que somar a uma linha de uma matriz uma combinação linear de outras duas linhas não altera o valor do determinante. Para isso, vamos usar duas propriedades fundamentais do determinante:
  1. Multilinearidade em cada linha (ou coluna).
  2. Propriedade alternante (o determinante é zero sempre que duas linhas são iguais).

Passo 2

Seja A uma matriz ntimes n cujas linhas são ell1,dots,elln. Defina A' como a matriz obtida ao substituir a linha i de A por
elli' = elli + lambda,ellj + mu,ellk,
mantendo todas as outras linhas iguais. Pela multilinearidade do determinante na i-ésima linha, segue que
det(A') = detl(ell1,dots,elli + lambda,ellj + mu,ellk,dots,ellnr) = det(ell1,dots,elli,dots,elln) + lambda,det(ell1,dots,ellj,dots,elln) + mu,det(ell1,dots,ellk,dots,elln)
Nos dois últimos termos, a i-ésima linha coincide com a j-ésima ou com a k-ésima, e portanto cada um desses determinantes é zero pela propriedade alternante. Concluímos então que
det(A') = det(ell1,dots,elli,dots,elln) = det(A)

Resposta

Somar a uma linha uma combinação linear de outras duas linhas não altera o determinante da matriz.

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