Demostre as proposições abaixo:
Somar a uma linha uma combinação linear de outras duas não altera o determinante.
Somar a uma linha uma combinação linear de outras duas não altera o determinante.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que somar a uma linha de uma matriz uma combinação linear de outras duas linhas não altera o valor do determinante. Para isso, vamos usar duas propriedades fundamentais do determinante:
- Multilinearidade em cada linha (ou coluna).
- Propriedade alternante (o determinante é zero sempre que duas linhas são iguais).
Passo 2
Seja
uma matriz
cujas linhas são
. Defina
como a matriz obtida ao substituir a linha
de
por
mantendo todas as outras linhas iguais. Pela multilinearidade do determinante na
-ésima linha, segue que
Nos dois últimos termos, a
-ésima linha coincide com a
-ésima ou com a
-ésima, e portanto cada um desses determinantes é zero pela propriedade alternante. Concluímos então que
Resposta
Somar a uma linha uma combinação linear de outras duas linhas não altera o determinante da matriz.