Quais das igualdades a seguir são sempre verdadeiras, e quais nem sempre são verdadeiras? Justifique sua resposta.
u cdot u=|u|

Passo 1

Então, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se a igualdade u cdot u = |u| é sempre verdadeira ou não. Estamos trabalhando com produto escalar de vetores e módulo de vetores. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o produto escalar e o módulo de um vetor.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o produto escalar. O produto escalar de um vetor u consigo mesmo, ou seja, u cdot u, é igual ao quadrado do módulo do vetor. Em fórmula, temos:
u cdot u = |u|^2

Passo 3

Agora, vamos analisar a igualdade que a questão apresentou: u cdot u = |u|. Substituindo o lado esquerdo pela expressão que acabamos de lembrar, ficamos com:
|u|^2 = |u|

Passo 4

Para resolver essa equação, vamos trazer todos os termos para um lado:
|u|^2 - |u| = 0
Podemos fatorar |u|:
|u| (|u| - 1) = 0

Passo 5

Essa equação será verdadeira se pelo menos um dos fatores for zero. Ou seja:
  1. |u| = 0
  2. |u| - 1 = 0 Rightarrow |u| = 1

Passo 6

Isso significa que a igualdade u cdot u = |u| só é verdadeira quando o módulo do vetor u é igual a 0 ou 1. Para qualquer outro valor de |u|, a igualdade não se sustenta.

Resposta

A igualdade u cdot u = |u| nem sempre é verdadeira. Ela só é válida quando o módulo do vetor u é igual a 0 ou 1. Para quaisquer outros valores, a igualdade não se mantém.

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