Quais das igualdades a seguir são sempre verdadeiras, e quais nem sempre são verdadeiras? Justifique sua resposta.
Passo 1
Então, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se a igualdade
é sempre verdadeira ou não. Estamos trabalhando com produto escalar de vetores e módulo de vetores. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o produto escalar e o módulo de um vetor.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o produto escalar. O produto escalar de um vetor
consigo mesmo, ou seja,
, é igual ao quadrado do módulo do vetor. Em fórmula, temos:
Passo 3
Agora, vamos analisar a igualdade que a questão apresentou:
. Substituindo o lado esquerdo pela expressão que acabamos de lembrar, ficamos com:
Passo 4
Para resolver essa equação, vamos trazer todos os termos para um lado:
Podemos fatorar
:
Passo 5
Essa equação será verdadeira se pelo menos um dos fatores for zero. Ou seja:
Passo 6
Isso significa que a igualdade
só é verdadeira quando o módulo do vetor
é igual a 0 ou 1. Para qualquer outro valor de
, a igualdade não se sustenta.
Resposta
A igualdade
nem sempre é verdadeira. Ela só é válida quando o módulo do vetor
é igual a 0 ou 1. Para quaisquer outros valores, a igualdade não se mantém.