Quais das igualdades a seguir são sempre verdadeiras, e quais nem sempre são verdadeiras? Justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se as igualdades
são sempre verdadeiras ou nem sempre. Estamos lidando com produtos vetoriais de vetores. Para resolver isso, vamos lembrar como funciona o produto vetorial e o que acontece quando a gente tem o vetor zero envolvido.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o produto vetorial. O produto vetorial entre dois vetores
e
, escrito como
, resulta em um novo vetor que é perpendicular aos dois vetores originais. Uma propriedade importante do produto vetorial é que se um dos vetores é o vetor zero (representado por 0), então o resultado do produto também será o vetor zero.
Passo 3
Agora, vamos analisar cada igualdade:
-
Aqui, estamos fazendo o produto vetorial do vetorcom o vetor zero. Pela propriedade que mencionamos, qualquer vetor cruzado com o vetor zero resulta no vetor zero. Portanto, essa igualdade é sempre verdadeira. -
Da mesma forma, agora o vetor zero está à esquerda e o vetorà direita. O produto vetorial também é comutativo em relação à ordem dos vetores quando se trata do vetor zero, ou seja, . Então, essa igualdade também é sempre verdadeira.
Resposta
Todas as igualdades
são sempre verdadeiras.