Quais das igualdades a seguir são sempre verdadeiras, e quais nem sempre são verdadeiras? Justifique sua resposta.
u times 0=0 times u=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se as igualdades u times 0 = 0 times u = 0 são sempre verdadeiras ou nem sempre. Estamos lidando com produtos vetoriais de vetores. Para resolver isso, vamos lembrar como funciona o produto vetorial e o que acontece quando a gente tem o vetor zero envolvido.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o produto vetorial. O produto vetorial entre dois vetores a e b, escrito como a times b, resulta em um novo vetor que é perpendicular aos dois vetores originais. Uma propriedade importante do produto vetorial é que se um dos vetores é o vetor zero (representado por 0), então o resultado do produto também será o vetor zero.

Passo 3

Agora, vamos analisar cada igualdade:
  1. u times 0 = 0
    Aqui, estamos fazendo o produto vetorial do vetor u com o vetor zero. Pela propriedade que mencionamos, qualquer vetor cruzado com o vetor zero resulta no vetor zero. Portanto, essa igualdade é sempre verdadeira.
  2. 0 times u = 0
    Da mesma forma, agora o vetor zero está à esquerda e o vetor u à direita. O produto vetorial também é comutativo em relação à ordem dos vetores quando se trata do vetor zero, ou seja, 0 times u = u times 0 = 0. Então, essa igualdade também é sempre verdadeira.

Resposta

Todas as igualdades u times 0 = 0 times u = 0 são sempre verdadeiras.

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