Quais das igualdades a seguir são sempre verdadeiras? Quais nem sempre são verdadeiras? Justifique.
(a)
.
(b)
.
(c)
.
(d)
.
(a)
(b)
(c)
(d)
Passo 1
O enunciado nos dá quatro igualdades envolvendo o produto vetorial (cross) e o produto escalar (dot) de vetores em
. Queremos determinar quais dessas igualdades são sempre verdadeiras e quais nem sempre se verificam. Para isso, vamos usar as propriedades fundamentais: bilinearidade e anticomutatividade do produto vetorial, além da ortogonalidade do vetor resultante com cada fator do cross.
Passo 2
Analisando a igualdade
.
Pelo fato de o produto vetorial ser linear em cada argumento, qualquer soma ou fator escalar que envolva o vetor nulo anula o resultado. Em particular,
Pelo fato de o produto vetorial ser linear em cada argumento, qualquer soma ou fator escalar que envolva o vetor nulo anula o resultado. Em particular,
e analogamente
Portanto essa igualdade é sempre verdadeira.
Passo 3
Analisando
.
Note que é paralelo a
. Como o produto vetorial de dois vetores paralelos é o vetor nulo, temos
Note que
Logo essa igualdade também é sempre verdadeira.
Passo 4
Analisando
.
Sabemos que o produto vetorial é anticomutativo, isto é,
Sabemos que o produto vetorial é anticomutativo, isto é,
Logo a igualdade
implicaria
,
ou seja . Em geral esse produto só é nulo se
e
forem paralelos. Portanto nem sempre a igualdade vale.
ou seja
Passo 5
Analisando
.
Uma propriedade fundamental do produto vetorial é que é ortogonal tanto a
quanto a
. Logo o produto escalar entre
e
é zero:
Uma propriedade fundamental do produto vetorial é que
Essa igualdade é sempre verdadeira.
Resposta
(a) sempre verdadeira
(b) sempre verdadeira
(c) nem sempre verdadeira
(d) sempre verdadeira
(b) sempre verdadeira
(c) nem sempre verdadeira
(d) sempre verdadeira