Quais das igualdades a seguir são sempre verdadeiras? Quais nem sempre são verdadeiras? Justifique.
(a) \vec{u} \times \overrightarrow{0}=\overrightarrow{0} \times \vec{u}=\overrightarrow{0}.
(b) \vec{u} \times(-\vec{u})=\overrightarrow{0}.
(c) \vec{u} \times \vec{v}=\vec{v} \times \vec{u}.
(d) \langle\vec{u} \times \vec{v}, \vec{v}\rangle=0.

Passo 1

O enunciado nos dá quatro igualdades envolvendo o produto vetorial (cross) e o produto escalar (dot) de vetores em \mathbb{R}^3. Queremos determinar quais dessas igualdades são sempre verdadeiras e quais nem sempre se verificam. Para isso, vamos usar as propriedades fundamentais: bilinearidade e anticomutatividade do produto vetorial, além da ortogonalidade do vetor resultante com cada fator do cross.

Passo 2

Analisando a igualdade \vec{u}\times\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}\times\vec{u}=\overrightarrow{0}.
Pelo fato de o produto vetorial ser linear em cada argumento, qualquer soma ou fator escalar que envolva o vetor nulo anula o resultado. Em particular,
\vec{u}\times\overrightarrow{0} =\overrightarrow{0},
e analogamente
\overrightarrow{0}\times\vec{u} =\overrightarrow{0}.
Portanto essa igualdade é sempre verdadeira.

Passo 3

Analisando \vec{u}\times(-\vec{u})=\overrightarrow{0}.
Note que -\vec{u} é paralelo a \vec{u}. Como o produto vetorial de dois vetores paralelos é o vetor nulo, temos
\vec{u}\times(-\vec{u})=\overrightarrow{0}.
Logo essa igualdade também é sempre verdadeira.

Passo 4

Analisando \vec{u}\times\vec{v}=\vec{v}\times\vec{u}.
Sabemos que o produto vetorial é anticomutativo, isto é,
\vec{u}\times\vec{v}=-\,(\vec{v}\times\vec{u}).
Logo a igualdade \vec{u}\times\vec{v}=\vec{v}\times\vec{u} implicaria \vec{u}\times\vec{v} = -\,(\vec{u}\times\vec{v}),
ou seja \vec{u}\times\vec{v}=\overrightarrow{0}. Em geral esse produto só é nulo se \vec{u} e \vec{v} forem paralelos. Portanto nem sempre a igualdade vale.

Passo 5

Analisando \langle \vec{u}\times\vec{v},\,\vec{v}\rangle = 0.
Uma propriedade fundamental do produto vetorial é que \vec{u}\times\vec{v} é ortogonal tanto a \vec{u} quanto a \vec{v}. Logo o produto escalar entre \vec{u}\times\vec{v} e \vec{v} é zero:
\langle \vec{u}\times\vec{v},\,\vec{v}\rangle=0.
Essa igualdade é sempre verdadeira.

Resposta

(a) sempre verdadeira
(b) sempre verdadeira
(c) nem sempre verdadeira
(d) sempre verdadeira

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