Sabendo que
\left(\left\|\vec{u}\right\|=5,\left\|\vec{v}\right\|=2,\langle\vec{u}, \vec{v}\rangle=-2,\langle\vec{u}, \vec{w}\rangle=1 \mathrm{e}\langle\vec{v}, \vec{w}\rangle=7\right),
calcule:
\langle 5 \vec{u}-4 \vec{v},-\vec{u}+\vec{w}\rangle.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações sobre os vetores \vec u,\vec v,\vec w:\r \|\vec u\|=5, \|\vec v\|=2, \langle\vec u,\vec v\rangle=-2, \langle\vec u,\vec w\rangle=1 e \langle\vec v,\vec w\rangle=7. \r
Queremos calcular o produto interno \r
\langle 5\vec u - 4\vec v,\,-\vec u + \vec w\rangle. \r
O que usaremos é a bilinearidade e a simetria do produto interno: \r \langle a\vec x + b\vec y,\;c\vec z + d\vec t\rangle = ac\,\langle\vec x,\vec z\rangle + ad\,\langle\vec x,\vec t\rangle + bc\,\langle\vec y,\vec z\rangle + bd\,\langle\vec y,\vec t\rangle.

Passo 2

Expandimos \r
\langle 5\vec u - 4\vec v,\,-\vec u + \vec w\rangle \r
usando bilinearidade: \r
\begin{aligned} \langle 5\vec u - 4\vec v,\,-\vec u + \vec w\rangle &= 5\cdot(-1)\,\langle\vec u,\vec u\rangle + 5\cdot1\,\langle\vec u,\vec w\rangle\\\ &\quad + (-4)\cdot(-1)\,\langle\vec v,\vec u\rangle + (-4)\cdot1\,\langle\vec v,\vec w\rangle. \end{aligned}

Passo 3

Agora substituímos os valores conhecidos:\r
\langle\vec u,\vec u\rangle = \|\vec u\|^2 = 5^2 = 25,\quad \langle\vec u,\vec w\rangle = 1,\quad \langle\vec v,\vec u\rangle = \langle\vec u,\vec v\rangle = -2,\quad \langle\vec v,\vec w\rangle = 7. \r
Logo os quatro termos são:\r
-5 \cdot 25 = -125,\quad 5 \cdot 1 = 5,\quad 4 \cdot (-2) = -8,\quad -4 \cdot 7 = -28.

Passo 4

Somando tudo:\r
-125 + 5 - 8 - 28 = -156.

Resposta

-156

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