Se \vec{u} \times \vec{v}=\vec{u} \times \vec{w} e \vec{u} \neq 0, então \vec{v}=\vec{w} ? Justifique.

Passo 1

O enunciado afirma que em \mathbb{R}^3 temos
\vec{u}\times\vec{v} \;=\; \vec{u}\times\vec{w},
com \vec{u}\neq\vec{0}. Queremos saber se disso segue \vec{v}=\vec{w}, e justificar a resposta. Vamos usar propriedades do produto vetorial.

Passo 2

Subtraindo os dois membros, obtemos
\vec{u}\times\vec{v} \;-\;\vec{u}\times\vec{w} \;=\;\vec{0} \quad\Longrightarrow\quad \vec{u}\times(\vec{v}-\vec{w})=\vec{0}.

Passo 3

Sabe-se que em \mathbb{R}^3 o produto vetorial de dois vetores é o vetor nulo se e somente se eles são paralelos (ou um deles é nulo). Aqui \vec{u}\neq\vec{0}, logo
\vec{u}\times(\vec{v}-\vec{w})=\vec{0} \quad\Longrightarrow\quad \vec{v}-\vec{w} \text{ é paralelo a } \vec{u}.é

Passo 4

Ser paralelo a \vec{u} significa que existe \lambda\in\mathbb{R} tal que
\vec{v}-\vec{w}=\lambda\,\vec{u}.
Assim
\vec{v}=\vec{w}+\lambda\,\vec{u}.

Passo 5

A igualdade \vec{v}=\vec{w} ocorreria apenas se \lambda=0. Mas do enunciado não temos nenhuma condição extra que force \lambda=0. Logo, em geral, só podemos concluir que \vec{v} difere de \vec{w} por um múltiplo de \vec{u}, não necessariamente \vec{v}=\vec{w}.

Resposta

Não. Só se conclui que
\vec{v}=\vec{w}+\lambda\,\vec{u} \quad(\lambda\in\mathbb{R}),
ou seja, \vec{v}-\vec{w} é paralelo a \vec{u}, mas não que \vec{v}=\vec{w}.

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