(ii) Considere o subconjunto de M2(R) dado por
W=(cc 0 & a b & 0 ): a+b <= 0
com as operações usuais de soma e multiplicação por escalar de M2(R). Veja que W não é um subespaço vetorial de M2(R) dando um exemplo onde falha uma das condições para que se tenha um subespaço vetorial.

Passo 1

O enunciado define
W = 0 & a b & 0 : a+b<= 0
e pede para mostrar que W não é subespaço vetorial de M2( R). Para isso basta encontrar uma das propriedades de subespaço que falha, tipicamente fechamento sob soma ou sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Recordando, para ser subespaço vetorial W deve ser fechado sob multiplicação por escalar, ou seja, para todo lambdain R e toda
Ain W
deve valer
lambda Ain W. Vamos testar essa propriedade.

Passo 3

Escolhemos
A = 0 & 1 -2 & 0
Como 1 + (-2) = -1 <= 0, temos Ain W. Agora tomamos lambda = -1 e calculamos
-1cdot A = 0 & -1 2 & 0
Nesse caso a soma dos coeficientes fora da diagonal é -1 + 2 = 1 > 0, logo -1cdot Anotin W. Portanto falha o fechamento sob multiplicação por escalar.

Resposta

W não é subespaço vetorial de M2( R) porque não é fechado em multiplicação por escalar (por exemplo -1cdot Anotin W).

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