subespaços do
. Determine uma base e a dimensão de
e
. Justifique o porquê de serem bases.
Passo 1
O enunciado nos dá três subespaços de
:
,
e
.
A tarefa é, para cada um deles, encontrar um conjunto de vetores que gere o subespaço, mostrar que esses vetores são linearmente independentes (portanto formam uma base) e então dar a dimensão.
A tarefa é, para cada um deles, encontrar um conjunto de vetores que gere o subespaço, mostrar que esses vetores são linearmente independentes (portanto formam uma base) e então dar a dimensão.
Passo 2
Para
, a única restrição é
.
Tomamos como parâmetros livres
Tomamos como parâmetros livres
e então
. Assim um vetor genérico de
é
Logo
gera
. Esses três vetores são manifestamente independentes (cada um tem componente não nula em posição diferente), então formam uma base de
.
Passo 3
Por definição,
Para ver que são LI, considere
. Isso dá o sistema
Logo são independentes e geram
. Portanto
é base de
.
Passo 4
No caso de
temos as duas equações
e
.
Podemos definir
Podemos definir
de modo que
Esses dois vetores geram
e são independentes (nenhum é múltiplo do outro), logo formam base de
.
Resposta
Base e dimensão de cada subespaço:
U
Base:
Base:
V
Base:
Base:
W
Base:
Base: