U & =(x, y, z, w) in R^4: x+y=0 V & =[(1,0,1,0),(0,1,0,0),(0,0,0,1)] W & =(x, y, z, w) in R^4: x-y=0 e z-w=0
subespaços do R^4. Determine uma base e a dimensão de U, V e W. Justifique o porquê de serem bases.

Passo 1

O enunciado nos dá três subespaços de R^4:
U=(x,y,z,w)mid x+y=0,
V=llang<=(1,0,1,0),(0,1,0,0),(0,0,0,1)rrang<= e
W=(x,y,z,w)mid x-y=0 e z-w=0.
A tarefa é, para cada um deles, encontrar um conjunto de vetores que gere o subespaço, mostrar que esses vetores são linearmente independentes (portanto formam uma base) e então dar a dimensão.

Passo 2

Para U, a única restrição é x+y=0.
Tomamos como parâmetros livres
t=x, z=s, w=u,
e então y=-x=-t. Assim um vetor genérico de U é
(x,y,z,w)=(t,-t,s,u) =t,(1,-1,0,0)+s,(0,0,1,0)+u,(0,0,0,1)
Logo (1,-1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1) gera U. Esses três vetores são manifestamente independentes (cada um tem componente não nula em posição diferente), então formam uma base de U.

Passo 3

Por definição,
V=llang<= v1,v2,v3rrang<= com v1=(1,0,1,0),; v2=(0,1,0,0),; v3=(0,0,0,1)
Para ver que são LI, considere a,v1+b,v2+c,v3=0. Isso dá o sistema
(a,,b,,a,,c)=(0,0,0,0) ;Longrightarrow;a=0,;b=0,;c=0
Logo são independentes e geram V. Portanto v1,v2,v3 é base de V.

Passo 4

No caso de W temos as duas equações x-y=0 e z-w=0.
Podemos definir
t=x=y, s=z=w,
de modo que
(x,y,z,w)=(t,t,s,s) =t,(1,1,0,0)+s,(0,0,1,1)
Esses dois vetores geram W e são independentes (nenhum é múltiplo do outro), logo formam base de W.

Resposta

Base e dimensão de cada subespaço:
U
Base: (1,-1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)
dim(U)=3
V
Base: (1,0,1,0),(0,1,0,0),(0,0,0,1)
dim(V)=3
W
Base: (1,1,0,0),(0,0,1,1)
dim(W)=2

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