W=(cc a & a+b b & a-b ): a, b in R
Verifique que
W=[X=(ll 1 & 1 0 & 1 ), Y=(rr 0 & 1 1 & -1 )]
isto é, W é gerado pelas matrizes X e Y.

Passo 1

O enunciado define o subespaço
W = l,a & a+b b & a-bcolon a,binRr
de M2times2(R) e pede para mostrar que
W = [,X,Y,] com X = 1 & 10 & 1, ;Y=0 & 11 & -1
O conteúdo usado será subespaços gerados por matrizes e a definição de combinação linear.

Passo 2

Mostramos primeiro que qualquer combinação linear de X e Y fica em W. Sejam alpha,betainR. Então
alpha X + beta Y = alpha1 & 10 & 1 +beta0 & 11 & -1 = alpha & alpha0 & alpha +0 & betabeta & -beta = alpha & alpha+betabeta & alpha-beta
Isso tem forma l(a,;a+b;;b,;a-br) com a=alpha e b=beta, logo alpha X+beta Yin W. Assim
[;X,Y;]subset W

Passo 3

Agora tomamos um elemento genérico de ,
Basta escrever como combinação de e . Se escolhemos e , então pelo cálculo do passo anterior
Logo e portanto

Passo 4

Como mostramos tanto [;X,Y;]subset W quanto Wsubset[;X,Y;], segue que
W = [,X,Y,]

Resposta

W é exatamente o subespaço gerado por X e Y, ou seja,
W = [,X,Y,]

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