Determine as equações paramétricas da reta.
Que passa pelos pontos (1,0,-1) e é paralela à reta \frac{1}{3}(x-4)=\frac{1}{2} y=z+2

Passo 1

O enunciado pede: determinar as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto (1,0,-1) e é paralela à reta dada por
\frac{1}{3}(x-4)=\frac{1}{2}y=z+2.
Informações relevantes fornecidas:
  • Ponto por onde a nova reta passa: (1,0,-1).
  • Uma reta paralela é dada na forma \dfrac{1}{3}(x-4)=\dfrac{1}{2}y=z+2.

Passo 2

Interpretar a expressão da reta dada: igualando cada termo a um parâmetro t obtém-se
\frac{1}{3}(x-4)=t,\qquad \frac{1}{2}y=t,\qquad z+2=t.
Isto é uma maneira padrão de converter a forma simétrica para formas paramétricas: cada expressão igual a t.

Passo 3

Resolver cada equação em função de t. Multiplicando e isolando as variáveis:
x=4+3t,\qquad y=2t,\qquad z=t-2.
Daí vê-se que, quando a reta é escrita em função de t, as coordenadas variam linearmente com coeficientes 3,2,1.

Passo 4

Extrair o vetor diretor da reta dada: os coeficientes de t nas expressões são as componentes do vetor diretor. Logo o vetor diretor é
\vec{v}=(3,2,1).
Também se pode ler um ponto da reta dada por t=0: (4,0,-2), mas para a reta pedida só interessa o vetor diretor, pois a nova reta é paralela.

Passo 5

Para construir a reta que passa por um ponto P_0=(x_0,y_0,z_0) e tem vetor diretor \vec{v}=(a,b,c), usa-se a forma paramétrica geral
x=x_0+at,\qquad y=y_0+bt,\qquad z=z_0+ct.
Aqui t é o parâmetro (mesmo símbolo, serve como parâmetro da nova reta). Para a reta pedida temos x_0=1,\;y_0=0,\;z_0=-1 e \vec{v}=(3,2,1). Substituindo esses valores na forma geral obtemos as equações paramétricas da reta procurada.

Resposta

x=1+3t
y=2t
z=-1+t

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