II. Nos exercícios seguintes, calcule as integrais de superfície integralS F cdot d S para os campos vetoriais F e as superfícies orientadas S indicadas.
F(x, y, z)=(y / 2, x / 2, z) e S é a fronteira do sólido determinado por 0 <= z <= 1-x^2-y^2, orientado com a normal apontando para o interior do sólido.

Passo 1

A questão pede calcular a integral de fluxo integral duplaS Fcdot d S onde F(x,y,z)=(y/2,x/2,z) e S é a superfície fechada que limita o sólido 0<= z<=1-x^2-y^2, com a normal apontando para o interior. O conteúdo principal aqui é o Teorema da Diversão (ou Gauss), que relaciona o fluxo pela fronteira de um volume ao divergente do campo dentro do volume.

Passo 2

Para usar o Teorema da Divergência, lembramos que ele vale para orientação para fora. Como nossa normal aponta para o interior, a integral que queremos é o negativo da integral com orientação exterior. Logo,
Calculamos o divergente de F:
nablacdot F = partialpartial xl(tfrac y2r) + partialpartial yl(tfrac x2r) + partialpartial z(z) = 0+0+1 = 1

Passo 3

Aplicamos o Teorema da Divergência (orientação para fora) para obter
integral duplaSout Fcdot d S = integral triplaV (nablacdot F),dV = integral triplaV 1,dV = Volume(V)
Em coordenadas cilíndricas, V é dado por 0<= r<=1, 0<=theta<=2pi, 0<= z<=1-r^2. Então
Volume(V)=integral0^2piintegral0^1(1-r^2),r,dr,dtheta =2piintegral0^1(r-r^3),dr =2pil[tfrac12-tfrac14r] =pi2

Passo 4

Como a orientação de S é para o interior, fazemos a troca de sinal: o fluxo desejado é
integral duplaS Fcdot d S = -pi2

Resposta

-\tfrac{\pi}{2}

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