II. Nos exercícios seguintes, calcule as integrais de superfície
para os campos vetoriais
e as superfícies orientadas
indicadas.
e
é a fronteira do sólido determinado por
, orientado com a normal apontando para o interior do sólido.
Passo 1
A questão pede calcular a integral de fluxo
onde
e
é a superfície fechada que limita o sólido
, com a normal apontando para o interior. O conteúdo principal aqui é o Teorema da Diversão (ou Gauss), que relaciona o fluxo pela fronteira de um volume ao divergente do campo dentro do volume.
Passo 2
Para usar o Teorema da Divergência, lembramos que ele vale para orientação para fora. Como nossa normal aponta para o interior, a integral que queremos é o negativo da integral com orientação exterior. Logo,
Calculamos o divergente de :
Calculamos o divergente de
Passo 3
Aplicamos o Teorema da Divergência (orientação para fora) para obter
Em coordenadas cilíndricas,
é dado por
,
,
. Então
Passo 4
Como a orientação de
é para o interior, fazemos a troca de sinal: o fluxo desejado é
Resposta
-\tfrac{\pi}{2}