(ii) integral-1^1(x^5+3) raiz1-x^2 d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida integral-1^1l(x^5+3r)raiz1-x^2,dx. O conteúdo envolve identificar funções pares e ímpares para tirar vantagem da simetria do intervalo e, em seguida, calcular uma integral padrão de raiz1-x^2 usando substituição trigonométrica.

Passo 2

Vamos separar a integral em duas partes:
integral-1^1l(x^5+3r)raiz1-x^2,dx = integral-1^1x^5raiz1-x^2,dx + 3integral-1^1raiz1-x^2,dx

Passo 3

Observe que a função x^5raiz1-x^2 é ímpar (produto de ímpar por par) e, em um intervalo simétrico, sua integral é zero. A função raiz1-x^2 é par, então
integral-1^1l(x^5+3r)raiz1-x^2,dx = 0 + 3integral-1^1raiz1-x^2,dx = 3integral-1^1raiz1-x^2,dx

Passo 4

Para avaliar integral-1^1raiz1-x^2,dx, fazemos a substituição trigonométrica x=sintheta, de modo que dx=costheta,dtheta e raiz1-x^2=costheta. Quando x=-1, temos theta=-tfracpi2; quando x=1, theta=tfracpi2. Assim:
integral-1^1raiz1-x^2,dx = integral-pi/2^pi/2cos^2theta,dtheta = tfrac12integral-pi/2^pi/2l(1+cos2thetar)dtheta = tfrac12gl[theta+tfracsin2theta2gr]-pi/2^pi/2 = tfrac12(pi+0)=tfracpi2

Passo 5

Multiplicando por 3, a integral original fica
3times tfracpi2 = tfrac3pi2

Resposta

tfrac3pi2

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