Prove that integral0^b x^3 d x=b^4 / 4, by considering partitions into n equal subintervals, using the formula for sumi=1^n i^3 which was found in Problem 2-6. This problem requires only a straightforward imitation of calculations in the text, but you should write it up as a formal proof to make certain that all the fine points of the argument are clear.

Passo 1

O enunciado pede para provar que integral0^b x^3,dx = b^4/4 usando somas de Riemann em partições iguais e a fórmula sumi=1^ni^3=l(n(n+1)/2r)^2. Vamos precisar dos conceitos de integral de Riemann, somas inferior e superior, e da fórmula para soma de cubos.

Passo 2

Como f(x)=x^3 é contínua em [0,b], ela é integrável. Dividimos [0,b] em n subintervalos iguais de largura De. Os nós são xi=iDe, i=0,1,dots,n.

Passo 3

A soma inferior é dada pelos valores em xi-1:
Ln=sumi=1^nf(xi-1),De
Mas sumi=1^n(i-1)^3=sumj=0^n-1j^3=l((n-1)n/2r)^2.
Logo,
Ln=De

Passo 4

De modo análogo, a soma superior usa xi:
Un=sumi=1^n(iDe

Passo 5

Como
limntoinftyLn=b^44, limntoinftyUn=b^44,
e pela definição de integral de Riemann temos
integral0^bx^3,dx=b^44

Resposta

b^44

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