Prove that
, by considering partitions into
equal subintervals, using the formula for
which was found in Problem 2-6. This problem requires only a straightforward imitation of calculations in the text, but you should write it up as a formal proof to make certain that all the fine points of the argument are clear.
Passo 1
O enunciado pede para provar que
usando somas de Riemann em partições iguais e a fórmula
. Vamos precisar dos conceitos de integral de Riemann, somas inferior e superior, e da fórmula para soma de cubos.
Passo 2
Como
é contínua em
, ela é integrável. Dividimos
em
subintervalos iguais de largura
. Os nós são
,
.
Passo 3
A soma inferior é dada pelos valores em
:
Mas
.
Logo,
Logo,
Passo 4
De modo análogo, a soma superior usa
:
Passo 5
Como
e pela definição de integral de Riemann temos