(b) Prove that integral0^b x^p d x=b^p+1 /(p+1).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a integral definida de uma função potência de zero até um valor b satisfaz a fórmula clássica das integrais de potência. O conteúdo envolvido é Cálculo Integral e vou usar o Teorema Fundamental do Cálculo e a regra de potência para antiderivadas.

Passo 2

Para aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo, primeiro preciso encontrar uma primitiva F(x) tal que F’(x)=x^p. Pela regra de potência, para p≠−1 uma antiderivada de x^p é
F(x)=x^p+1p+1

Passo 3

Posso checar rapidamente que essa escolha está certa derivando:
F'(x)=ddxgl(x^p+1p+1gr)=p+1p+1,x^(p+1)-1=x^p

Passo 4

Agora uso o Teorema Fundamental do Cálculo que diz que
integral0^bx^p,dx=F(b)-F(0)

Passo 5

Substituindo F(x) nas extremidades, obtenho
F(b)-F(0)=b^p+1p+1-0^p+1p+1=b^p+1p+1

Resposta

integral0^bx^p,dx=b^p+1p+1

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