(b) Prove that
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a integral definida de uma função potência de zero até um valor b satisfaz a fórmula clássica das integrais de potência. O conteúdo envolvido é Cálculo Integral e vou usar o Teorema Fundamental do Cálculo e a regra de potência para antiderivadas.
Passo 2
Para aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo, primeiro preciso encontrar uma primitiva F(x) tal que F’(x)=x^p. Pela regra de potência, para p≠−1 uma antiderivada de x^p é
Passo 3
Posso checar rapidamente que essa escolha está certa derivando:
Passo 4
Agora uso o Teorema Fundamental do Cálculo que diz que
Passo 5
Substituindo F(x) nas extremidades, obtenho